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Čajkovskij, o del divino di sfuggita

I piedi sul letto, finalmente ascolto gli ultimi minuti.
Sanctus Sanctus Sanctus, eco dopo eco, sempre più piano.
Sull’unisono degli archi.
Immagini e suoni di un futuro ancora solo previsto.
Nell’attesa di un colpo di pianoforte, ecco il mio accordo mancante.
Nient’altro.
In una palla di fuoco. Con le orecchie piene di bellezza. Una piccola consolazione.

Poco prima del Natale 1880, Pëtr Il’ič Čajkovskij scrive alla sua benefattrice ed amica Nadežda von Meck, raccontandole come per inciso di un concerto di un mesetto prima. La Liturgia è stata presentata all’Associazione Musicale di Mosca, che l’ha trovata interessante. Tutto qui.

La Liturgia a cui fa riferimento è la “Liturgia di San Giovanni Crisostomo”, op. 41. Si tratta del frutto della curiosità dell’autore per un mondo, quello della liturgia ortodossa, che aveva conosciuto come fedele praticante. E che ora, da compositore di un certo successo, ha affrontato dal lato autoriale.

Si tratta di un modo agli antipodi rispetto allo stile di Čajkovskij. Che è uno stile fatto di tensioni e di risoluzioni, di melodie cantabili indimenticabili, di dispiego di forze orchestrali finalizzate a suscitare passione nell’ascoltatore. Un grande compositore romantico in stile occidentale, con qualche parzialità verso il folklore russo (e italiano).

Ecco, la liturgia ortodossa tutto questo lo nega. Non ci sono tensioni e risoluzioni: solo la stasi del canto che accompagna parti specifiche dei riti. Né melodie indimenticabili, solo un testo antichissimo che richiede di essere sostenuto e valorizzato da un corpo musicale che deve sparire sotto le parole. Non ci sono nemmeno le passioni individuali, solo l’adesione del singolo al canto collettivo. Una musica concepita secoli prima, ciclica come è ciclica la liturgia, che gravita intorno ad eventi extramusicali e li accompagna.

Che ci fa Čajkovskij in questo mondo? Perché arriva ad entrarci? Per curiosità. E anche per provare il piacere di poter usare la propria cassetta degli attrezzi in una situazione nuova, che si nutre di una retorica diversa da quella per cui i suoi attrezzi sono stati messi a punto. Probabilmente è il sistema di vincoli nuovi, diversi dal solito, ad affascinarlo. E ad inquietarlo lo stato di congelamento di questo mondo musicale imposto dalla Cappella Imperiale di San Pietroburgo. Lo stile dettato da quest’ultima probabilmente non risonava con la spiritualità tormentata, o con le memorie infantili, di Čajkovskij. E infine probabilmente anche la necessità di entrare con la propria creazione in quella che considerava una forma d’arte totale, tra architettura, arti visive e musica.

Čajkovskij entra, forse invade, in un campo che non è il suo, e questo gli causa qualche grattacapo legale. Ma alla fine può pubblicare quello che è il primo esempio di musica liturgica ortodossa scritta da un compositore sinfonico, formatosi all’occidentale. Altri seguiranno, tra cui forse il caso più brillante sono le Veglie (Vespri) di Sergei Rachmaninov, una quarantina d’anni dopo.

Cosa ascoltiamo di questa serie di brani? Il brano in cui si staglia evidente la logica di Čajkovskij, l’artigiano esperto che il destino sfida ad usare la sua precisione confezionando qualcosa di totalmente altro rispetto al solito. L’Inno dei Cherubini. Niente orchestra, solo coro. Niente melodia cantabile: una serie di scampoli di scala discendente, appoggiati l’uno sull’altro. E giù da questa scala scendono i Cherubini, per suscitare la comunione del canto dei fedeli con quello delle schiere celesti.

Questa discesa sfrutta le capacità del coro russo, senza esagerare. Sono sempre quattro voci, ma sparse e allargate, per dare l’idea di un muro sonoro compatto, senza buchi. Non c’è costruzione ritmica: l’omofonia e la variazione ritmica per divisione semplice sono gli unici principi di movimento. Čajkovskij usa accordi semplici ma larghi, e li fa arrivare fino al punto in cui emergono gli oktavisty, i bassi profondi russi, le cui voci sono fondamentali, nel senso tecnico: le note da loro emesse, le più basse, risuonano nella cattedrale, eccitano armonici nell’edificio, rendendolo una cassa di risonanza di pietre. E la pienezza di un’armonia scarna, con accordi di quattro note, si spiega con il cantare della terra stessa, delle sue ossa, della chiesa fisica, alla discesa dell’annuncio recato dai messaggeri della gloria divina.

Un esperimento, forse, per Čajkovskij. Che però lascia il segno di una logica matematica e fisica che rivela consapevolezza e padronanza, tecnica prima di tutto. Čajkovskij artigiano, ho scritto, ma nel senso dell’artigiano medievale, custode di un’arte che può mettere a disposizione di qualunque creazione.

Ecco allora la consegna del brano con cui si apre il post. La sottrazione come metodo. Scrivi un testo di dieci frasi su un tema che normalmente ti verrebbe da sviluppare, argomentare, costruire — una convinzione, un’emozione, un’idea complessa. Poi riscrivilo eliminando tutto ciò che è sviluppo, tutto ciò che è argomentazione, tutto ciò che è tensione verso una conclusione. Quello che rimane deve essere solo presenza: affermazioni senza contrasto, immagini senza movimento, frasi che esistono invece di andare da qualche parte. Il vincolo: nessuna frase può contenere un verbo di movimento o di trasformazione.

Questo è un atto della serie sulla Matematica della Musica. L’atto precedente parlava di Sibelius. Il successivo introdurrà Mikhail Glinka.

Brahms (3) e la prigione circolare

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Sono fottuto. Se si viene a sapere che ho dato informazioni a una spia ucraina sono finito. Come Johnson l’anno scorso, che alla fine però se l’è cavata con una lavata di capo e una “ridistribuzione”. Idea: pezzarla prima che la notizia salti fuori. Dai, forza, spremi quel cervello, brutto idiota!

Ma anche il matrimonio. Se Jenny viene a sapere della relazione con la bionda, posso dire addio al matrimonio. È vero che al terzo posso dire di non avere molte aspettative d’amore eterno. Cosa posso inventare? Una lista di Barley? Plausible deniability? Cosa vuol dire in concreto? Lista di conseguenze, subito!

Mi mandano a preparare il pranzo al sacco all’Asilo. Che, per la verità, sarebbe già un bel modo di mantenere la ciotola di riso. Se quello che le ho passato è disinformazione controllata, vuol dire che in realtà noi sappiamo altro. Ed è vero! Giusto ieri è entrato questo nuovo messaggio, di cui non sapevo nulla e di cui non le ho parlato! Questa è la via! Gli stiamo facendo capire che abbiamo scoperto il loro gioco, ma non sanno che sappiamo anche come stanno reagendo alla nostra scoperta!

O mi licenziano, se quella bomba scoppia da qualche parte. Se mi licenziano mi metto a scrivere libri come LeCarré e qualcosa ci guadagno. Il nuovo messaggio è la chiave. Chissà se il Joe italiano l’ha già visto… Devo sentire Luton e farglielo arrivare.

Mi spediscono alle Shetland come pastore per dieci anni. Mi va bene che da noi non è mai passato il vecchio metodo sovietico: un raffreddore, e del buon Stephson rimane solo una medaglia per il fedele servizio da consegnare alla moglie insieme a una piccola pensione. No, Luton lo lasciamo fuori. Ha sganciato il Joe, anche bruscamente, secondo me meglio se incarichiamo una seconda unità. Chi c’è in Italia? Dev’essere Crawley. Posso sentire lei, è giovane ma è in gamba.

Ma poi pensa lo sfottimento. Fregato dalla mia passione per le bionde… Anche se non mi potrei lamentare: il vecchio Stephson, chi l’avrebbe mai detto… un qualche orgoglio da pub mi rimarrebbe addosso. Crawley? Come va? Ti andrebbe di fare un salto a Bologna? Lasciamo stare Luton, vorrei ci pensassi tu. Un Joe, ha dato una mano a tradurre cose, poi l’abbiamo fatto sparire. No, Luton ci ha detto dov’è. Joe vorrebbe aiutare ancora, perché l’abbiamo fermato quando hanno iniziato a cercarlo. No, sembra di no. Certo, occhi aperti, ma pare l’abbiano mollato. C’è lavoro da dargli. Esatto, se stanno guardando, non devono vedere. Sotto il naso. Se c’è il naso. No, direttamente a me. L’handler sei tu. Ma perché sei rossa… lo sai che ho una passione per le rosse, Crawley.

L’impressione che il critico Hanslick riporta dopo aver assistito a un’esecuzione privata della Sinfonia n. 4 (in versione per due pianoforti) di Brahms, è di essere stato preso a ceffoni per un’ora da due persone molto intelligenti. Ed era il critico amico. Fa il paio con la lettura che Leonard Bernstein ne dà nella lezione introduttiva linkata nel post precedente, sul primo movimento.

Qui parleremo del quarto movimento, quello che conclude la produzione sinfonica del vecchio (ma non vecchissimo) Johannes. E assisteremo alla costruzione di una prigione circolare e a uno spettacolare quanto inutile tentativo di evasione.

Il quarto movimento ha una struttura peculiare. È una passacaglia. La passacaglia è una forma musicale (di cui avevamo parlato nel post su Lully) in cui c’è qualcosa che si ripete sempre uguale, mentre tutto il resto cambia. Nel caso di questo Allegro energico e passionato, c’è qualcosa che si ripete davvero e qualcosa che potrebbe ma non lo fa.

Ciò che si ripete davvero è la struttura armonica. La sequenza di otto accordi con cui si apre. Quella sì: si ripete per ben 30 volte. Tutto il resto gli gira intorno e cambia ogni volta. Intanto ricordiamoci che il tempo in chiave è un 3/4. Tempo ternario per eccellenza. Non ce ne accorgiamo nella prima enunciazione del tema: tutti gli accordi durano un’intera battuta e non c’è altro da dire. Appena iniziano le variazioni, però, il tempo ternario inizia a battere e non smette più.

È una struttura armonica strana. Il brano è, nominalmente, in Mi minore, si conclude in Mi minore, e termina una sinfonia in Mi minore. Eppure ciò che si ripete con ostinazione in questo brano è una sequenza centrata intorno a La minore (La minore – Fa#minore – Mi minore – La minore – Fa#maggiore 7 – Mi minore – sesta aumentata su Fa naturale – Mi maggiore), non Mi minore.

Brahms ci sta dicendo che casa non è casa. E poi ci intrappola in questa non-casa per trenta iterazioni.

Il fatto che tutti questi accordi abbiano la stessa durata, che non ci sia un indugio sull’ultimo o sul penultimo, che il ciclo successivo inizi subito alla fine del precedente senza distinzione di cicli potrebbe farci pensare a una ruota vera e propria, come quella del criceto: dove inizia una ruota? Sono le variazioni, le trenta iterazioni, una diversa dall’altra, a rendere perfettamente riconoscibili gli inizi e le fini della ruota.

Ciò che potrebbe ripetersi ogni volta, e non lo fa, è la melodia nascosta. Le note rosse della figura formano una linea melodica. Le note di cui è fatta sono parte degli accordi che si ripetono: potrebbero ripetersi anche loro ogni volta. Poi succede che gli accordi vengano rivoltati, o ridotti, o spostati in altri registri, e quindi quella melodia non emerge quasi mai. Eppure se la imparate bene, potreste cantarla ogni volta che sentite ripetere la struttura armonica. Ed è una melodia nella tonalità di Mi minore!

Questo doppio binario armonico, la voce superiore che “canta” in una tonalità, il corpo orchestrale che spinge in un’altra, è un “ceffone” (secondo Hanslick) di cui non ci si accorge, ma che l’orecchio percepisce, e il cervello registra. È un’ambiguità deliberatamente nascosta da Brahms per farci percepire anche la tonalità di “casa” (Mi minore) come “non-casa” (perché il brano è centrato su un’altra serie di armonie). Incidentalmente, questo scollamento tra voce esteriore e voce orchestrale verrà usato in seguito anche da altri compositori (ad esempio Puccini in diversi passaggi di opere come Bohème, Tosca, Turandot…).

Brahms ci toglie la casa, e ci getta in una serie di trenta iterazioni, un’eternità, in una prigione sempre uguale. Con una gamma emotiva estrema: dalla dolcezza più amorevole alla rabbia più nuda.

Qua e là, e soprattutto nella trentesima iterazione compare un motivo che saltella verso il basso di terza in terza: esatto, Brahms ci vuol ricordare che stiamo sempre parlando della stessa sinfonia, la quarta, il cui primo movimento era proprio stato costruito così.

Dopo trenta iterazioni accade qualcosa. C’è un indugio, un rallentamento, poco ritardando, qualche battuta strana come se si volesse prendere una rincorsa, e intanto il basso sprofonda di una terza; e poi inizia, Più allegro, la trentunesima. Ma già dal terzo accordo ci si accorge che c’è qualcosa che non torna. Chi stava cantando la melodia rossa non ci riesce più. Primo perché cambia anche il ritmo: ci sono degli stop. E poi perché l’armonia non segue lo schema della prigione circolare. Il cerchio si è rotto.

L’armonia sale verso il registro più alto, come se stesse accumulando tensione, come se una fionda stesse per farci evadere, e in tutto questo l’unico ritmo è dato dai colpi degli accordi che evolvono dal tema principale lungo una linea finalmente non più curva, ma rettilinea. L’evasione è riuscita, ma dove siamo finiti?

Quando emerge, nei tromboni, e poi nei legni e nei violini, un nuovo ritmo, è zoppo; è un ritmo binario in una struttura ternaria. Le trombe colpiscono ogni due-quattro quarti, mentre i legni suonano tutti i quarti, e li legano a volte a due a volte a tre. Finalmente sono gli archi e i tromboni a riprendere il ritmo ternario, e a condurre la danza alla sua drammatica conclusione: due battute terminali di un tragico valzer in Mi minore, che sprofonda e si conclude con due accordi secchi, una cadenza autentica: Si maggiore – Mi minore. Dopo tanta violenza non c’è altro da aggiungere.

C’è tanta innovazione in queste note, in questa sinfonia. Perché c’è una conoscenza perfetta della musica già scritta, e c’è tanta coraggiosa intelligenza (sì, quella che denunciava, tra una sberla e l’altra, il critico) nel rileggere, rivisitare, rinnovare ogni scelta compositiva: ogni accenno di melodia, ogni accostamento di armonie, ogni variazione ritmica, ogni assegnazione timbrica.

Qui la versione con spartito.

Come nel post precedente, le versioni di questa sinfonia che io preferisco sono quelle di Furtwangler, Bernstein e Kleiber. Quella di Furtwängler (con i Berliner Philarmoniker) è sorprendente per la varietà dinamica e per la coda furiosa. La versione di Bernstein (e dei Wiener Philarmoniker) è spettacolare. Quella di Kleiber (con l’orchestra della Radio Bavarese) è precisa e sofferta.

La consegna del tentativo di scrittura creativa all’inizio di questo post. Scegli una sequenza fissa di stati d’animo (ad es.: noia, speranza, paura, coraggio). Quest’ordine è il tuo basso ostinato: non una frase ma una struttura che ritorna, come la sequenza di accordi che in una passacaglia si ripete immutata sotto ogni variazione. Scrivi ora cinque o sei brevi iterazioni. Ognuna deve attraversare quegli stessi stati, nello stesso ordine, ma raccontando ogni volta una storia diversa: un altro giorno, un’altra persona, un’altra situazione. La sequenza emotiva non cambia mai; cambia tutto ciò che la incarna.

Le prime iterazioni tienile vicine, riconoscibili; poi lascia che le storie si facciano via via più diverse, più dense, più cariche: la struttura resta, ma sopra la tensione sale. Poi, all’ultima iterazione, spezza la sequenza. Dopo nove giri in cui l’ordine è sempre tornato, fa’ che questa volta non si completi: uno stato non lascia il posto al successivo, o irrompe qualcosa che la sequenza non prevedeva, e l’ostinato si rompe. Non dall’esterno: è la ripetizione stessa che, caricandosi giro dopo giro, alla fine cede. E quando è rotta, non chiudere in gloria. Il colmo è già passato, e quel che resta non è un altro giro, è solo ciò che avanza. Il cerchio non c’è più.

Questo è un atto della serie sulla Matematica della musica. Il precedente atto riguardava ancora Brahms. Il prossimo invece parlerà di un altro “reazionario” otto-novecentesco: Camille Saint-Saëns.

Bach, o dello stretto indispensabile

2 Repliche

Non sono una spia, e non voglio diventarla.
Non sono una spia, ma per ora devo far finta di esserla.
Non sono una spia, ma so di aver le spalle coperte dalle migliori spie.
Non sono una spia, e non voglio diventarla.
Non sono una spia, ma devo sparire.
Non sono una spia, ma ho dato una mano.
Non sono una spia, ma l’ultimo mio lavoro probabilmente era importante.
Non sono una spia, però forse qualcuno pensa che la sia.
Non sono una spia, e non voglio diventarla.
Non sono una spia, ma devo sparire.
Non sono una spia, ma non posso comunque fidarmi di nessuno.
Non sono una spia, e perciò forse posso fidarmi di qualcuno.
Non sono una spia, e lì vedo qualcuno di cui potrei fidarmi ciecamente.
Non sono una spia, ma un certo istinto ce l’ho.
Non sono una spia, ma riconosco i segreti, e i loro generi.
Non sono una spia, e lì vedo qualcuno di cui mi fiderò.
Non sono una spia, e non voglio diventarla.
Non sono una spia, ma per ora devo far finta di esserla.
Fingo di essere una spia e non posso fidarmi di nessuno.
Ma di Ermanno mi fiderò.

Un altro esempio di scrittura vincolata. Il vincolo lo specifico più avanti.

Per il momento, parliamo di Johann Sebastian Bach. Ricordate quanto si diceva del temperamento, nell’atto 1 di questo percorso? Ciò che rendeva mistico il temperamento pitagorico era il suo essere basato su numeri interi e frazioni relativamente semplici. Ciò che non funzionava tanto bene era una sorta di gerarchizzazione tra le note e le tonalità. Ogni strumento aveva una nota-base, che diventava il centro di gravità della scrittura musicale. Via via che questa si allontanava da tale nota, le consonanze divenivano approssimative e l’effetto all’orecchio diventava meno piacevole.

Scrivere musica per strumenti diversi, con diverse accordature, in queste condizioni, diventava difficile. Diventava difficile anche introdurre modulazioni o cambiamenti di tonalità, nel corso di un brano.

Nel corso del Sei-Settecento, si diceva, qualcuno tenta di porre rimedio. L’idea è di allontanarsi dallo schema pitagorico con piccole correzioni (non ancora le radici dodicesime: quelle verranno più avanti). L’idea è che le tonalità debbano avere tutte pari dignità, e con qualche modifica alle frazioni, ci si riesce. Nascono altri tipi di temperamento.

Bach, un grande artigiano della musica al servizio di diversi principi nella Germania nordorientale, è convinto di questa necessità, perché gli è utile. Gli serve, come si diceva, per mettere insieme strumenti con accordature diverse in modo che siano tutti a proprio agio e consentendo quindi l’espressione di una abilità esecutiva. Contemporaneamente, questo rende possibile complicare la scrittura e allontanarsi in modo sempre più audace dalla tonalità d’impianto per indurre ritorni sempre più desiderati dall’ascoltatore.

Bach scrive così due volumi di composizioni per clavicembalo, in cui mette alla prova il buon temperamento dello strumento. Si tratta di ventiquattro preludi e fughe, uno per ogni tonalità maggiore e minore, per due (i due volumi). La prima coppia è in Do maggiore, la seconda in Do minore, eccetera, fino al Si minore, che rappresenta la ventiquattresima.

Questa raccolta è ancora oggi uno dei pilastri fondamentali, per tecnica ed espressione, e in generale per la loro musicalità, della formazione dei tastieristi. E l’idea dei 24 preludi è piaciuta molto anche a diversi compositori successivi, che si sono prodotti in emulazioni più o meno celebri: Chopin, Rachmaninov, Debussy, Šostakovič, giusto per citarne alcuni tra quelli che incontreremo nel nostro percorso.

Fatto il quadro necessario, parliamo del primo dei preludi. Semplicissimo. Una struttura ritmica che si ripete sempre uguale, con una significativa variazione nell’ultima battuta; che fa da base a una struttura armonica che è la vera protagonista del brano. Manca una melodia cantabile: tanto che nel 1853 Charles Gounod pensa di aggiungerla creando la sua celebre Ave Maria: mette Bach all’accompagnamento, e funziona benissimo; ma funzionava altrettanto bene anche senza l’aiutino del francese, perché Bach scrive da Dio (e per Dio, visto che per quasi ventisette anni, nella sua qualità di Thomaskantor a Lipsia, deve occuparsi della musica liturgica delle principali chiese della città ogni domenica).

Un ritmo costante, una sequenza armonica fatta di tensioni e rilasci, fino alla stretta finale, in cui la tensione viene tenuta più a lungo, fino alla chiusura risolutiva, verso la relativa Fuga a 4 voci (ah, e delle fughe parleremo più avanti, in un post dedicato).

Semplice, da manuale: ma tanto incredibilmente efficace da renderlo un brano che, pur fuori dal suo contesto, tutti conosciamo, tutti riconosciamo. La partitura stessa è un arabesco, regolare e bello da vedere.

Qui anche lo spartito, linea per linea, e una panoramica sulle mani del pianista (questa volta è pianoforte e non clavicembalo).

Bach ci insegna l’incredibile potenza di una struttura solida, lo stretto indipensabile di Bach: unita a elementi più pop, come accade in questo brano, arriva a tutti. Unita a scelte più sofisticate e difficili, dà la misura di una complessità che cercare di districare almeno un po’ è un piacere, per chi si prende la briga di farlo.

Ecco allora la consegna a cui il testo iniziale risponde.

Scrivi un testo che racconti qualcosa usando una struttura anaforica, ripetendo cioè frasi con la stessa struttura e con minime variazioni lessicali attraverso cui passa la narrazione, con la finalità di suscitare un’emozione (quale?) in chi ascolta. Potresti ricalcare la struttura del preludio, concludendo con una transizione parzialmente anaforica e 2 versi o paragrafi di coda conclusiva che riprendono il motivo dell’anafora in modo più libero.

Questo è il quindicesimo atto nella serie sulla Matematica nella musica. L’atto precedente riguardava Telemann. Il prossimo sarà ancora su Bach.

Couperin, o la struttura sbriciolata

1 Replica

Dalla mia gabbia lo vedo: il cellulare è sul tavolo, è ancora caldo, ed è aperto su Whatsapp.

Si vede, ancora per qualche secondo un messaggio ricevuto da Wilma, con una posizione: leggo un nome, Perugia, vicino a un puntino rosso. Lo schermo si spegne.

Rumore di passi, scarpe col tacco, al piano di sopra.

Ancora tacchi, ma ora si aggiungono le rotelle di un trolley sul pavimento in parquet.

Il trolley e i tacchi si muovono intorno alle ante di un armadio che si aprono, e poi si chiudono.

Di nuovo rumore di legno percosso da tacchi e rotelle, suono che si fa più forte e più vicino, scale discese.

Cessano i rumori, e una mano femminile, ben curata, unghie lunghe e rosse, una vera e un diamante sull’anulare, si allunga verso il cellulare. Lo afferra.

Sento di nuovo tacchi verso il corridoio.

Ora vedo la signora nello specchio. Con il mignolo si sistema il rossetto ai lati della bocca. Poi guarda il telefono.

Sento: “Tesoro, devo fare un salto in Umbria, un cliente. Ti chiamo stasera dall’albergo. Ciao”.

La sua voce di nuovo ripete le stesse parole, con tono metallico. Suono di chiavi. Le rotelle si allontanano, i tacchi anche.

“Esce, signora?” chiede la voce della tipa che mi dà da mangiare. “Sì, chiudi tu per favore. Torno domani. Marco è in Francia, rientra sabato. Mi raccomando la spazzatura. Grazie Agnese”.

Attenzione: la spazzatura? “Ah, e Cocò, acqua e cibo per favore, se no mi muore”. Ecco, meno male.

La porta si apre, si apre il garage, si chiude la porta, Agnese si mette a cantare.

La BMW si avvia, parte, il garage si chiude. Agnese continua a cantare. E finalmente sento il rumore della scatola del miglio. Era ora.

Che ci dice questo brano? Un brano in cui si riesce a riconoscere una storia, ma è sbriciolata nelle impressioni sensorie di un osservatore che ci lascia saltare alle conclusioni. La consegna, che puoi seguire anche tu e provare a soddisfare, è quella che segue. Scrivi un testo composto da circa 15 paragrafi che sviluppi una trama perfettamente riconoscibile. Deve avere un inizio, uno sviluppo e un colpo di scena, ma nessuna frase deve raccontare la trama in modo esplicito. Il vincolo: ogni frase deve essere un’immagine o un frammento sensoriale indipendente (una nota isolata), che però si prolunga e risuona dentro quella successiva. La storia deve emergere nell’aria, dall’insieme delle risonanze, e il vero punto di vista (il portatore della melodia) deve rimanere invisibile, svelandosi solo nell’ultimo accordo del testo.

A chi assomiglia questo modo di scrivere? Direi prima di tutto a uno stile, il cosiddetto style brisé, lo stile spezzato che caratterizza alcune composizioni di François Couperin, grande clavicembalista di corte di Luigi XIV e XV. E’ uno stile che imita sulla tastiera la dinamica esecutiva del liuto. Ossia, il suo modo di arpeggiare e di tenere le note a lungo in accordi che risuonano ancora intanto che i prossimi vengono suonati. Ed essendo una tecnica che usa molto l’arpeggiato e le note tenute anche sul clavicembalo si adatta male alla scrittura “a voci” che separa in modo rigido il ruolo del basso ostinato e del soprano melodico.

Tutto è un po’ mescolato: Couperin non abbandona alla voce del basso il ruolo del basso ostinato, la parte ritmica e armonica. Affida questi ruoli all’insieme delle voci (un po’ come Lully faceva con l’orchestra e il coro). Lo stesso fa con il canto, la melodia che tradizionalmente è portato dalla voce acuta, quella detta del “soprano” (in analogia con il soprano del canto lirico). Anche in questo caso, Couperin alleggerisce la voce “soprano” dalla funzione melodica che tradizionalmente ricopriva. Invece, la sbriciola su tutte le voci. E’ così libero di far tacere la voce soprano, di farla partecipare alla melodia, di impegnarla in abbellimenti o vocalizzi.

Con Couperin, con alcuni dei suoi oltre duecento brani per clavicembalo, le voci dell’impianto tradizionale perdono le connotazioni funzionali tradizionali, o almeno il loro automatismo. La melodia si nasconde, l’impianto armonico pure, e così il ritmo. Tutto è nascosto ma ben presente.

Un esempio di questo stile è il brano Les barricades mystérieuses.

In questo arrangiamento che presenta anche il liuto, si può vedere e sentire la sovrapposizione delle tecniche esecutive:

Questo stile spezzato verrà ripudiato dalla generazione successiva di clavicembalisti francesi (ad esempio Rameau), ma verrà invece incluso in quel catalogo di composizione ed esecuzione clavicembalistica che è il “Clavicembalo ben temperato” di Bach, che proprio nel primo preludio omaggia (in modo abbastanza evidente, anche se con una rigidità formale tutta tedesca e bachiana, lontana dall’improvvisazione vera o simulata alla francese) proprio questo style brisé, e quindi Couperin.

La melodia si nasconde (e in effetti non è facile trovarla e canticchiarla), l’armonia viene fuori dal tutto, il ritmo è evidente ma anch’esso emerge dall’interazione delle voci, piuttosto che dal martellare di una sola. E’ un passo avanti strutturale, che confonde le strutture tradizionali, le diffonde e distribuisce, ma, come in Lully, l’effetto è di un rafforzamento del valore di tali strutture, perché ora permeano il brano in profondità.

Questo brano è un atto della serie sulla Matematica nella musica. L’atto precedente riguarda Jean Baptiste Lully, il successivo il primo su Jean-Philippe Rameau.

La matematica della musica – una saga in costruzione

24 Repliche

Un viaggio personale sulla musica come struttura incarnata, come ricerca di matematica fisica.

Ogni scoperta di una nuova struttura musicale diventa un nuovo atto.

Non so quanti atti saranno, alla fine, se ci sarà una fine. Torna spesso: nuovi atti in arrivo.

─────────────────────────────────────────────────────────────── ATTO 1 — Tra cerchi e radici: matematica tra le note | 23 Aprile 2026

ATTO 2 — Hildegard, o della musica balistica | 26 Aprile 2026

ATTO 3 — Pérotin, o del tempo frazionato | 11 Maggio 2026

ATTO 4 — Palestrina, o l’armonia pacificante | 29 Maggio 2026

ATTO 5 — Allegri: lo spazio come strumento | 24 Giugno 2026

ATTO 6 — Monteverdi: il basso che guida | 26 Giugno 2026

ATTO 7 — Frescobaldi: il tempo elastico | 27 Giugno 2026

ATTO 8 — Lully: il basso del potere | 28 Giugno 2026

ATTO 9 — Couperin, o la struttura sbriciolata | 29 Giugno 2026

ATTO 10 — Rameau, o la musica che descrive | 30 Giugno 2026

ATTO 11 — Rameau (2), o la spinta dell’esotico | 1 luglio 2026

ATTO 12 — Cosa combina Vivaldi | 7 luglio 2026

ATTO 13 — Vivaldi (2) e la texture sonora | 8 luglio 2026

ATTO 14 — I numeri di Telemann | 9 luglio 2026

ATTO 15 — Bach, o dello stretto indispensabile | 13 luglio 2026

ATTO 16 — Bach (2), o di mani, voci, idee e temi | 15 luglio 2026

ATTO 17 — Specchi e crostacei in fuga, e il nome di Bach (3) | 16 luglio 2026

ATTO 18 — Händel e la sua cassetta degli attrezzi | 18 luglio 2026

ATTO 19 — Handel (2), o del ritmo di sua maestà | 20 luglio 2026

ATTO 20 — Handel (3) e le fughe di massa | 21 luglio 2026

ATTO 21 — Haydn, o della regola e dello scarto | 22 luglio 2026

ATTO 22 — Haydn (2), l’orologiaio della forma | 24 luglio 2026

ATTO 23 — Mozart e i suoi padri | 26 luglio 2026

ATTO 24 — Mozart (2) e la sezione aurea | 30 luglio 2026

ATTO 25 — Mozart (3) e il finale dei finali | 3 agosto 2026

ATTO 26 — Mozart (4) danza, si prende in giro (e poi ci manda all’inferno) | 6 agosto 2026

ATTO 27 — Beethoven, o delle Nove e del frammento infinito | 10 agosto 2026

ATTO 28 — Beethoven (2) e il dialogo anelastico | 13 agosto 2026

ATTO 29 — Beethoven (3) e l’esito delle variazioni | 17 agosto 2026

ATTO 30 — Chopin, o del tempo in libertà vigilata | 20 agosto 2026

ATTO 31 — Chopin (2) e il dialogo irreversibile | 24 agosto 2026

ATTO 32 — Chopin (3) e lo sviluppo che implode | 27 agosto 2026

ATTO 33 — Brahms e l’incrocio dei ritmi | 31 agosto 2026

ATTO 34 — Brahms (2) e la catena delle terze | 3 settembre 2026

ATTO 35 — Brahms (3) e la prigione circolare | 7 settembre 2026

ATTO 36 — Saint-Saëns, o del colore brillante della resistenza | 10 settembre 2026

ATTO 37 — Dvořák, o degli irriducibili | 14 settembre 2026

ATTO 38 — Wagner, o dei riferimenti vivi | 17 settembre 2026

ATTO 39 — Bruckner, o delle cattedrali sonore | 21 settembre 2026

ATTO 40 — Mahler, o dei temi in cerca di polifonia | 24 settembre 2026

ATTO 41 — Sibelius, o la strategia della tensione | 28 settembre 2026

ATTO 42 — Sibelius (2), o della foresta frattale | 1 ottobre 2026

ATTO 43 — Čajkovskij, o del divino di sfuggita | 5 ottobre 2026

ATTO 44 — Glinka, o delle scale sdrucciolevoli | 8 ottobre 2026

ATTO 45 — Rimskij-Korsakov, o delle magie musicali | 12 ottobre 2026

ATTO 46 — Rachmaninov, o di quando Caronte rema | 15 ottobre 2026

ATTO 47 — Rachmaninov (2), o dell’importanza di arrivare | 19 ottobre 2026

ATTO 48 — Fauré, o della promessa presa sul serio | 22 ottobre 2026

ATTO 49 — Debussy, o dell’importanza di non andare da nessuna parte | 26 ottobre 2026

ATTO 50 — Ravel, o del prezzo della reticenza | 29 ottobre 2026

ATTO 51 — Ravel (2), o di quando lo studio eclissa i dipinti | 2 novembre 2026

─────────────────────────────────────────────────────────────── Ogni atto è indipendente, ma insieme raccontano un pezzo di storia e di incarnazione matematica nel mondo musicale.

Palestrina, o l’armonia pacificante

5 Repliche

Onda dopo onda piano
segue il mare il mio cammino.
Passo dopo passo vado
lento, sono solo sulla
spiaggia; passo dopo passo,
vado lento, salto:
piano piano torno indietro,
un’asperità vedevo
una punta nella sabbia
una chela ora pare;
ma riprendo, passo dopo
passo vado piano sulla
spiaggia che s’interrompe qui:
ora l’acqua impedisce
di passare: nuoto
attraverso metri salsi
la corrente spinge fuori,
l’acqua è dolce, questo è un fiume;
ma risalgo; passo dopo
passo vado lento, cerco
ombra, ora scorgo una
roccia sulla quale vive
un albero, vi pose le
radici: mi fermo.
Chioma folta, sotto ombra.
Siedo.
Spalle contro pietra appoggio.
Onda dopo onda piano
suona il mare, s’avvicina.
Dormo.
Onda dopo onda piano
suona il mare, nei miei sogni.

Ci siamo di nuovo, qualche nuova regola da seguire per scrivere qualche testo bizzarro, come qui e qui? C’è una matematica di fondo?

Effettivamente sì: questa volta le regole sono tre. Non sono immediatamente riconducibili alla matematica, ma costituiscono una struttura, e ogni struttura può essere vista come matematica.

Il flusso uniforme: il metro scelto si mantiene costante dall’inizio alla fine; è il battito che non cambia mai;
il meccanismo di molla-rilascio: ogni tensione deve essere introdotta e risolta prima che arrivi la successiva: non lasciare tensioni aperte;
la compensazione dei salti: puoi spezzare il metro in uno o due punti — una parola sola, un verso breve, un silenzio — ma solo per segnare un salto importante. Ogni salto deve essere seguito da un ritorno graduale al metro costante e al centro del tema.

Dov’è che si può trovare, nella musica, un sistema che segua queste regole?

Ad esempio, e probabilmente per la prima volta insieme e con questa consapevolezza, nei mottetti di Pierluigi da Palestrina, come Sicut Cervus.

Queste regole hanno permesso di vedere la polifonia, in un momento in cui questa era messa in discussione come musica liturgica dalla Controriforma cattolica, non come qualcosa che distragga l’ascoltatore e lo disperda nella confusione delle voci, ma come uno strumento che gli permette, invece, di cogliere nell’armonia pacificata delle voci la profondità del testo sacro, e la bellezza della musica che lo dispiega.

Questo post fa parte della serie La matematica della musica: l’atto precedente riguarda Pérotin, mentre quello successivo Gregorio Allegri.

Pérotin, o del tempo frazionato

3 Repliche

Alle 6:00 Ivan si svegliò a Hammersmith. Sapeva che non si sarebbe alzato da letto, non per pigrizia: l’incidente non gli lasciava molto da fare se non aspettare.

Alle 6:00 Irina si svegliò a Kensington, fece una doccia, uscì dal suo albergo e prese la metropolitana.

Alle 6:00 anche Jane si svegliò a Vauxhall, fece una doccia, uscì dal suo albergo e si avviò verso la metropolitana.

Alle 6:00 infine Mary si svegliò a Borough, fece una doccia, scese nella sala della colazione del suo albergo e prese un caffè lungo con un croissant, uscì dall’albergo e si avviò verso la metropolitana.

Alle 7:00 Irina uscì dalla metropolitana, si fermò a uno stand di giornali e comprò il Times, poi si avviò a piedi. Alle 7:30 si infilò in una caffetteria, dove ordinò un caffè lungo e un piatto di uova strapazzate col bacon.

Alle 7:00 Jane uscì dalla metropolitana, si fermò a uno stand di giornali e comprò il Times, poi prese un bus. Alle 8:00 scese e proseguì a piedi.

Alle 7:00 Mary uscì dalla metropolitana, mandò un messaggio al telefono e poi lo spense. Prese un bus. Alle 8:30 scese e proseguì a piedi.

Alle 8:00 Irina uscì dalla caffetteria ed entrò in un ospedale. Alle 8:30 ne uscì, con qualcosa in tasca. Prese un autobus.

Alle 8:00 Jane uscì dalla caffetteria e si incamminò lungo la stessa strada. Verso le 8:15 entrò in un negozio di valigie. Alle 8:30 ne uscì con un trolley nuovo. Alle 8:45 entrò in una libreria. Quando ne uscì alle 9:00 il suo trolley aveva l’aria di essere più pesante.

Alle 8:00 Mary scese dall’autobus, attraversò la strada e si fermò a uno stand di giornali ed acquistò il Times. Poi entrò nel parco, dove trovò una panchina e si sedette. A leggere il Times.

Alle 9:00 Irina scese dal bus, ed era di fianco al British Museum, ancora chiuso. Entrò in un negozio di cartoleria, alle 9:15. Ne uscì dopo pochi minuti e aveva al dito un piccolo rotolo di scotch. Alle 9:30 si sedette in una caffetteria, dove ordinò un succo di pompelmo, e si mise a leggere il Times.

Alle 9:00 Jane entrò in un negozio di lingerie. Ne uscì alle 9:30, dopo aver inserito nel trolley quel che aveva comprato. Alle 9:45 entrò in un negozio di cosmetici.

Alle 9:00 Mary uscì dal parco, prese un bus. Alle 9:30 ne scese e proseguì a piedi.

Alle 10:00 Irina si alzo dal tavolino della caffetteria, pagò, uscì e si mise in fila per entrare al British Museum. Alle 10:30 entrò e mandò un messaggio dal proprio cellulare. Poi si avviò verso la galleria Duveen, e si sedette ad ammirare i marmi di Elgin. Alle 10:45 appoggiò la copia del Times sulla panchina, si alzò per guardare un fregio da vicino. Poi si sedette di nuovo. Riprese in mano la copia del Times e se ne andò verso la Stele di Rosetta.

Alle 10:00 Jane si mise in fila per entrare al British Museum. Alle 10:15 entrò e mandò un messaggio dal proprio cellulare, poi si avviò verso la galleria Duveen, e si sedette ad ammirare i marmi di Elgin. Intanto che ammirava appoggiò la copia del Times sulla panchina. Alle 10:45 raccolse una copia del Times e se ne andò verso il tesoro di Sutton Hoo.

Alle 10:00 Mary entrò in una caffetteria, ordinò un succo di pompelmo e si sedette a un tavolino. Sotto il tavolino c’era un pezzetto di scotch, e qualcosa attaccato ad esso. Mary aprì il trolley, ne estrasse un Penguin con con la vita e le opinioni di Tristram Shandy gentiluomo, staccò lo scotch dal tavolino e lo inserì nel libro, che poi ricacciò nel trolley. Alle 10:45 si alzò, lasciò la sua copia del Times, pagò e uscì, avviandosi a piedi.

Alle 11:00 Irina uscì dal British Museum. Fece pochi passi e, alle 11:15 venne arrestata e portata alla più vicina stazione di polizia. La polizia pareva particolarmente interessata al giornale che ella aveva con sé.

Alle 11:00 Jane uscì dal British Museum. Fece pochi passi e, alle 11:15 venne arrestata e portata alla stazione di polizia, un’altra. La polizia, anche nel suo caso, pareva molto interessata al giornale che ella aveva con sé.

Alle 11:00 Mary prese la metropolitana.

Alle 12:00 Irina richiese un duty solicitor.

Alle 12:00 anche Jane richiese un duty solicitor.

Alle 12:00 Mary scese al Terminal 5 di Heathrow, con il suo trolley.

Alle 13:00 Irina fu interrogata alla presenza del suo difensore d’ufficio.

Alle 13:00 anche Jane fu interrogata alla presenza del suo difensore d’ufficio.

Alle 13:00 Mary si sedette al gate, in attesa del volo per Cracovia.

Alle 14:00 Irina fu rilasciata. Alle 14:15 si fermò in una caffetteria, prese un succo di pompelmo e un uovo strapazzato, e spedì un messaggio.

Alle 14:00 Jane fu rilasciata. Alle 14:45 si fermò in una caffetteria, prese un croissant e un caffè lungo e inviò un messaggio.

Alle 14:00 Mary si sedette a bordo, mandò un messaggio, mise il cellulare in modalità aereo e partì.

Alle 14:00 Ivan ricevette un messaggio, poi un altro alle 14:15 e un altro ancora alle 14:45; quindi sorrise, spense il cellulare e si addormentò.

Un po’ lunghetto. Ma se sei riuscito a resistere fin qui, confesso: anche in questo caso ho agito rispondendo a una consegna compositiva ben precisa. Questa:

Scrivi un breve racconto strutturato su tre o quattro “voci” (personaggi) seguendo queste regole matematico-compositive:

Il Tenor: scegli un personaggio che rimanga immobile o confinato per tutta la durata del racconto. Questo personaggio rappresenta il fondamento su cui poggia l’intera struttura.

Le Voci Superiori: Crea altri due o tre personaggi che partano tutti nello stesso istante, ma che si muovano a velocità diverse e compiano azioni differenti.

La Consonanza: Stabilisci dei punti orari precisi (es. le 10:00) in cui le traiettorie dei personaggi devono incrociarsi fisicamente o idealmente.

Il Micro-ritmo: Inserisci piccoli dettagli che fungano da “fioriture” rapide sopra il flusso lento del tempo.

A chi assomiglia questa struttura? A cosa? Beh, è pensata per ricalcare un Organum di Pérotin (XII-XIII secolo).

In un’epoca in cui la musica era quasi sempre una linea singola (il Canto Gregoriano), Pérotin introduce la dimensione del tempo frazionato. Al centro della sua architettura mette il Tenor: una melodia antica, sacra, stirata a tal punto che ogni sua nota diventa un pilastro immobile, un “Ivan” che aspetta. Sopra questo gigante addormentato, Pérotin fa danzare altre due o tre voci (Duplum, Triplum, Quadruplum).

Queste voci sono le nostre “Irina, Jane e Mary”: si muovono agilmente, si rincorrono con ritmi diversi, s’intrecciano in modi complessi ma tornano sempre a incontrarsi sulle note del Tenor. La matematica di Pérotin non è un calcolo freddo, ma l’arte di gestire il traffico delle anime nel tempo: è la scoperta che più voci possono abitare lo stesso istante, ognuna con la propria velocità, senza che l’unità del tutto venga mai meno.

Un esempio: Viderunt omnes.

Questo post fa parte della serie La matematica della musica. L’atto precedente parla di Hildegard di Bingen, e quella successiva di Giovanni Pierluigi da Palestrina.

Hildegard, o della musica balistica

4 Repliche

Suono di cimbali tra le capanne

nel vento; tintinnando lo sospinge

su, all’eremo, alto sulla valle.

Tamburi tuonano nella vallata,

attraversando l’eremo raccolto

nei vespri ruba il vento canti e torna.

Su all’eremo l’eco giunge; canta

salmi il coro dei monaci; folate

benedicenti la sagra e il villaggio.

Non sono diventato pazzo, è solo un esercizio. Dicevo qui che sono partito per un (lungo) viaggio a caccia di matematica nella musica. Ecco, non c’è solo la matematica delle radici e dei calcoli. Ho incontrato, soprattutto, la matematica delle strutture. Sequenze, ripetizioni, blocchi, trasformazioni, simmetrie: questa è la forma di matematica che è più facile incontrare nella musica che ho ascoltato. Una matematica che spesso si rende facilmente visibile come geometria sugli spartiti, oltre che udibile a un primo ascolto. Altre volte richiede uno sguardo d’insieme in grado di percepire quali sono i mattoni usati per la composizione. Ed ecco il motivo di questo esercizio, che cerca di riproporre sulla nostra lingua naturale geometrie simili a quelle che caratterizzano un particolare brano: O vis aeternitatis, di Ildegarda di Bingen (1098-1179).

Torno all’esercizio. La consegna era: scrivi un verso con un certo numero di sillabe (una terzina di endecasillabi ne ha circa trentatré) che mostri un arco ascendente e poi discendente. La frase deve avere un punto di partenza in basso, un apice preciso e una discesa finale allo stesso livello della partenza. Poi riscrivi lo stesso verso, spostando ogni volta l’apice. Nel mio caso, l’apice (l’eremo) è comparso per la prima volta in fondo alla prima terzina, e a ogni riscrittura è arretrato: nel secondo verso e poi nel primo. Il vincolo sillabico impone di cambiare qualcosa, spostando l’apice: il peso e il significato del verso non è lo stesso. Anticipando il punto intermedio, c’è sempre meno spazio per l’andata e sempre più per il ritorno.

(Non è semplicissimo, ma perché non provi anche tu? La consegna è qui sopra… Può essere divertente e certamente aiuta molto a capire).

E’ quello che succede, facendo i dovuti paralleli, nella monodia medievale di Hildegard.

I dovuti paralleli: non è il numero di sillabe a costituire il vincolo, ma il testo della preghiera, a cui la monodia si adatta. Inoltre, non c’è un solo arco ascendente-discendente, ma vi è un andamento alternato centrato su una nota base, a cui sempre si ritorna, alla fine di ogni frase; e in mezzo, cellule di note combinate in modo modulare portano ad apici anche molto distanti dalla nota base, quando si parla della forza dell’eternità.

Hildegard usa un ambitus, cioè un’estensione, ampia per l’epoca: anche due ottave. Questo significa che la sua linea non è “piatta”, ma ha valli e creste con salti di quinta che danno luogo a “pendenze” più accentuate rispetto al gregoriano standard.

Non c’è accompagnamento, non c’è basso, non c’è ritmo scandito da una misura fissa: il tempo è quello della parola, del respiro, della frase. Hildegard scrive per una voce sola in uno spazio acustico preciso — la pietra di una chiesa o di un’abbazia, con la sua risonanza naturale. Il silenzio non è assenza: è la materia in cui la linea melodica si estende e risuona. La matematica è quella degli intervalli: la quinta e l’ottava come consonanze pure, il salto come tensione, il grado congiunto come distensione. Ogni frase melodica è un arco — una traiettoria che parte, si alza, tocca il punto più alto e torna. Non c’è sviluppo, non c’è dialettica: c’è la forma dell’arco, ripetuta e variata, come una proporzione che si afferma e si conferma.

Gli spunti matematici sono diversi: dalla balistica (le traiettorie ad arco: ovviamente gli archi di Hildegard non potevano informarsi alle costruzioni delle parabole che caratterizzano il moto dei proiettili, ma la forma che assumono è riconducibile in senso metaforico e strutturale ad esse), alla combinatoria (come combinare cellule e salti per ottenere traiettorie sempre più ardite; anche in questo caso è uno spunto per analogia, perché Hildegard non esplora tutte le possibilità date dalla situazione/nota di partenza per lanciare la sua preghiera sempre più lontano; e tuttavia l’operazione di combinare cellule neumatiche in modo diverso è essenzialmente combinatoria).

Ed è molto bello vedere che già mille anni fa chi scriveva musica, per fortuna ma non solo per fortuna destinata a sopravvivere fino ad oggi, consapevolmente e deliberatamente adottasse una poetica in cui la struttura, la progettazione, l’uso della razionalità, e una buona dose di artigianato, affiancavano il talento e il genio.

Questo post fa parte della serie La matematica della musica; l’atto precedente riguarda i numeri coinvolti nella musica, mentre il successivo parla di Perotino il grande.

Tra cerchi e radici: matematica tra le note

5 Repliche

Da diverso tempo volevo scrivere qualcosa sui legami tra matematica e musica, da esperto della prima con qualche rudimento della seconda. L’occasione mi è offerta da un lavoro che ho svolto per testare le capacità di diverse piattaforme IA. Questo è diventato il primo di una serie di post che ho raccolto in questa pagina.

Mi sono reso conto che non c’è inizio migliore che parlare delle note. Do, Re, Mi… quelle.

Gli scrittori antichi che ci tramandano notizie sui cosiddetti pitagorici raccontano storie di corde. Ossia della scoperta che l’armonia dei suoni si ottiene suddividendo corde secondo numeri interi e rapporti semplici (a metà, a due terzi, a tre quarti…). Pare che questo abbia avuto una rilevanza notevole nella formulazione della teoria pitagorica del tutto è numero.

Una corda come unità di misura

Immaginiamo uno strumento con una corda lunga “1” (metro? piede? non importa: è la corda lunga 1, l’unità di misura). Quando la “suoniamo” otteniamo una certa nota (diciamo un Do). Se blocchiamo la corda a metà e la suoniamo otterremo un altro Do, solo più acuto (un’ottava sopra). Stoppando la corda a $\frac{2}{3}$ della lunghezza otterremo un Sol (una quinta sopra la nota di partenza). Bloccandola a $\frac{3}{4}$ un Fa (una quarta sopra la nota di partenza).

Il Do alto è una quarta sopra il Sol, che, a sua volta, è una quinta sopra il Do basso. Se prendo la corda lunga $\frac{2}{3}$ (Sol) e la stoppo ai suoi $\frac{3}{4}$ (una quarta sopra), avrò stoppato la corda di partenza ai suoi $\frac{2}{3}\times\frac{3}{4}=\frac{2}{4}$ , ossia a metà. Il Do alto, appunto.

Questi “quarta” e “quinta” vengono da un modo bizzarro di contare i gradi della scala, che conta pure gli estremi: Do, Re, Mi, Fa: sono quattro, una quarta.

In realtà, facendo qualche calcolo, a chi ha studiato queste cose è venuto in mente che di gradi ne usiamo un po’ di più. Perché, ad esempio, tra Fa e Sol si può immaginare una nota intermedia. In realtà se ne possono immaginare infinite, di note intermedie. La nostra musica occidentale ne mette due, o una sola.

L’uso occidentale è quello di dividere l’ottava in dodici semitoni, e una scala (anche qui ci sarebbe tanta matematica: di scale ce ne sono di tanti tipi diversi, a seconda dell’assortimento di toni e semitoni) ne usa solamente alcuni, tipicamente sette più l’ottavo che è come il primo, solo un po’ più su.

Calcoliamo le lunghezze?

Bellissimo, vero? Tutte le note spiegate in termini di frazioni semplici… un modo meraviglioso per vedere la matematica all’interno dell’armonia, o l’armonia all’interno della matematica, come preferite. Ma una matematica semplice: quella delle frazioni!

Procediamo di quinta in quinta salendo, moltiplicando ogni volta per $\frac{2}{3}$ la lunghezza della corda precedente (nel grafico, numeri in rosso). Inoltre, moltiplichiamo per 2 quando la corda si fa troppo corta e il suono diventa più acuto del Do alto che prendiamo come limite superiore. Contemporaneamente, procediamo per quinte discendenti, moltiplicando ogni volta per $\frac{3}{2}$ (nel grafico, numeri in viola), e, nel caso otteniamo un numero maggiore di 1, dimezziamo salendo di un’ottava.

Le righe colorate vanno lette in sequenza dall’alto verso il basso. La sequenza rossa di quinte ascendenti parte dal Do basso, raggiunge il Sol, poi il Re (alto, che viene abbassato raddoppiando) etc. La sequenza viola di quinte discendenti parte dal Do alto, raggiunge il Fa, quindi il Si bemolle (sotto il Do basso, che viene alzato dimezzando) etc. Nell’ultima riga, in nero un valore approssimato ai centesimi della lunghezza della corda, se la corda di Do basso è lunga esattamente 1: come si vede Fa# e Sol bemolle non sono esattamente identici, in questa costruzione.

Così dovremmo raggiungere tutte le note, almeno le 12 note che vediamo in una tastiera del pianoforte. La sequenza rossa dovrebbe essere questa. Do – Sol – Re (abbassiamo) – La – Mi (abbassiamo) – Si – Fa# (abbassiamo). Quella viola: Do (alto) – Fa – Sib (alziamo) – Mib – Lab (alziamo) – Reb – Solb (alziamo). A questo punto dovremmo chiudere il cerchio, se Fa# e Sib sono la stessa nota, come siamo abituati a pensare.

Il problema

Iniziate a vedere il problema? Ogni salto di quinta verso l’alto si ottiene moltiplicando il numeratore per 2 (o per 4, se contemporaneamente scendiamo di un’ottava) e il denominatore per 3. Ogni salto di quinta verso il basso, invece, si ottiene moltiplicando il numeratore per 3 e il denominatore per 2 (o per 4, se contemporaneamente saliamo di un’ottava). Alla fine, il Fa# dovrà avere a denominatore una potenza di 3, mentre il Solb una potenza di 2. Non c’è modo che due frazioni fatte così possano essere uguali.

Il cerchio non si chiude. E’ un problema? Non lo è per quegli strumenti in cui l’intonazione è decisa dall’orecchio del musicista: la nota la prende dove gli serve su una tastiera senza tasti (come quella di un violino) che gli permette di scegliere in una continuità di lunghezze possibili. Ma in uno strumento che ha una corda per ogni nota, è necessario sapere esattamente se la corda è lunga come un Mi# o come un Fa, se con una lunghezza di 0,74 o di 0,75, perché questa è la differenza.

Ecco che la scoperta dei cosiddetti pitagorici (quella dei rapporti semplici secondo numeri interi) funziona molto bene localmente, vicino alla nota centrale usata come riferimento, ma via via diventa complicata e approssimativa allontanandosi da questa.

L’alternativa

C’è un’alternativa. E richiede la rinuncia ai numeri razionali: ognuna delle 12 note successive al Do che ha una corda lunga “1”, ha una lunghezza di $\frac{1}{\sqrt[12]{2^n}}$ : ad esempio la corda del Fa è lunga $\frac{1}{\sqrt[12]{2^5}}\approx 0,749$ , molto vicino a 0,75 del Fa pitagorico; oppure quella del sol è $\frac{1}{\sqrt[12]{2^7}}\approx 0,667$ , anche questo molto vicino ai $\frac{2}{3}$ del Sol pitagorico.

Questa dei numeri irrazionali è una strada che mai i pitagorici avrebbero potuto intraprendere. Ci sono almeno due versioni diverse sulla brutta fine che capitò al pitagorico Ippaso di Metaponto, colpevole di aver scoperto l’incommensurabilità della diagonale e del lato del quadrato, ossia di aver dimostrato che esistono rapporti non esprimibili come frazioni (irrazionali). E infatti è l’aristotelico Aristosseno di Taranto, a suggerire l’idea, poi sviluppata tra il 1500 e il 1800, del temperamento equabile, che prende piede in modo ampio solo nel 1900 (dell’era cristiana). In mezzo, sia in senso temporale che di sfumatura, diversi tentativi di “buoni temperamenti”, cioè di sistemazioni delle note in modo da avere 12 semitoni in un’ottava, anche se con rapporti non tutti identici, ma che consentono, comunque, di suonare in tutte le tonalità (cosa impossibile nel pitagorico), spesso donando a ciascuna di esse una particolare coloritura (cosa che non avviene nell’equabile).

lunghezze delle corde nel temperamento equabile — Lunghezze delle corde secondo il temperamento equabile. Nell’ultima colonna i valori approssimati al centesimo. Come si vede le differenze sono piccole, talvolta sembrano non esserci. Tuttavia i valori di questa figura sono irrazionali, a differenza di quelli della figura precedente.

Questione d’orecchio

Non si tratta di questioni di lana caprina. Né dal punto di vista matematico, né da quello musicale.

Dal secondo, il cosiddetto comma pitagorico, cioè la differenza tra i punti di arrivo della costruzione del cerchio delle quinte secondo il temperamento pitagorico, è di quasi un quarto di tono, perfettamente all’interno delle capacità risolutive dell’orecchio umano. Questo agli estremi: per le posizioni intermedie comunque chi suona dice che la differenza tra i vari temperamenti si sente.

Effettivamente ci sono dei fenomeni fisici che in certe condizioni si verificano se le frequenze delle note non sono perfettamente multiple, i battimenti. Ad esempio, in questo video si può apprezzare, prestando attenzione e ascoltando più volte, le diverse vibrazioni prodotti da intervalli temperati in modo diverso. Gli intervalli di quinta, o di terza più o meno stretti caratteristici di questo o quel temperamento significano esperienze auditive diverse, una diversa resa dell’interazione tra strumenti e timbri diversi, una diversa fedeltà a ciò che coloro che quella musica l’hanno scritta o ascoltata per la prima volta hanno sentito davvero, visto che c’è una storia dietro ai diversi temperamenti.

Dal primo punto di vista, è un esempio abbastanza lampante delle diverse caratteristiche di numeri razionali e irrazionali, del loro emergere nella vita quotidiana, del fatto che, indipendentemente da come consideriamo i numeri, se li vediamo cioè come proprietà realmente presenti nel mondo che ci circonda, o come, invece, utili strumenti che la mente usa per rappresentare quello stesso mondo, essi ci interpellano anche in uno dei campi apparentemente più lontani dal rigore che solitamente riguarda la matematica, e lo fanno mettendosi i panni di veri e propri guastafeste, che ci impongono di scegliere cosa vogliamo salvare e in che misura: la simmetria di una struttura equa e ben misurata, e irrazionale, o la gradevolezza di un sistema perfettamente armonico, ma non dappertutto.

Questo post fa parte della serie La matematica della musica. Il prossimo post della serie riguarda Hildegard di Bingen.

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