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I numeri di Telemann

sinuosi, sottili, azzurri
con una flessibile anima rossa
che trasporta scossa

regolare cammina
da quando parte non s’arresta
passi secchi chiari, poi più

non la vedi, non la senti, ma la temi perché
quando il suo tempo finisce, anche tu non ne hai più:
corri, attento a te!

Partiamo dal titolo. Telemann, Georg Philipp, classe 1681, nasce a Magdeburgo, poi si sposta ad Amburgo. Lì per 43 anni ricopre incarichi di alto livello e inonda il mondo con le sue note.

Di numeri ne aveva tanti. Prima di tutto la quantità di musica scritta, grazie alla quale ottiene facilmente il titolo di compositore più prolifico di sempre.

Tra cui la musica da pasto, la Tafelmusik. Telemann trova un format (suite di 6 brani di carattere diverso e adatti ad accompagnare i diversi momenti dei banchetti), e lo riempie di musica originale e talvolta anche coraggiosa. La vende, pure, con pagamento anticipato. Pare sia il primo esperimento di crowdfunding e abbonamento: i finanziatori, il cui nome veniva pubblicato, ricevevano a casa i fascicoli via via che venivano pubblicati.

Ciò per cui però vorrei qui ricordarlo, e che spiega il piccolo brandello sotto il titolo, è una particolare predilezione di Telemann per la musica enigmatica e descrittiva. Telemann eleva l’arte della gallina di Rameau all’ennesima potenza, giusto per stare sui suoi numeri. Scrive musica che descrive fondamentalmente la qualunque: il grillo, le maree, i postini in carrozza, le rane, il vaiolo, i turchi, don Chisciotte… Ogni soggetto genera potenzialmente un nuovo brano. Telemann ha un metodo che è anche la sua sfida: individuare una caratteristica traducibile in una particolare qualità di suono, di melodia, di musica.

Per il grillo, lo stridulio, le note ripetute.

Per le maree, il salire e scendere, ovviamente, e il moto ondoso.

Per la carrozza della posta, i corni della posta, simulati con le trombe. (Sulle trombe ci sarebbe tanto da dire, perché uno dei suoi numeri è riuscire a comporre musica decente anche per la tromba naturale, quella le cui note non dipendono dalle chiavette da premere con le dita, ma dalle labbra e dal fiato del trombettista).

Non è sempre la stessa cosa: ogni soggetto ha un suo specifico. E non è nemmeno una traduzione oggettiva, misurata, perché c’è comunque tanta libertà di scelta in quella che è la caratteristica da rappresentare. Però, una volta scelta, Telemann procede con metodo e associa alla caratteristica un particolare modo di scrivere e suonare, per rendere il soggetto riconoscibile.

Non sempre ci riesce, ovviamente, anche perché rimane sempre all’interno di regole compositive ben precise e codificate, quelle della musica barocca. Però per la prima volta in modo seriale Telemann esce dalla pura imitazione sonora e cerca una corrispondenza tra mondi sonori diversi, la funzione giusta per associare a un oggetto un brano musicale.

Ed ecco la consegna relativa al frammento poetico dell’inizio. (A proposito: hai risolto l’enigma?)

Scegli un oggetto o fenomeno della realtà quotidiana. Costruisci tre firme dello stesso oggetto, ciascuna basata su un parametro diverso — ad esempio la forma, il suono, il ritmo, il movimento, la durata. Ogni firma deve essere precisa e verificabile: non una descrizione emotiva, ma un insieme di tratti costruiti sulla corrispondenza tra proprietà fisiche dell’oggetto e proprietà del linguaggio. Le tre firme devono essere abbastanza precise da permettere a qualcuno che non conosce l’oggetto di riconoscerlo da ciascuna presa singolarmente — e dall’insieme delle tre deve emergere qualcosa che nessuna delle tre dice da sola.

I numeri di Telemann un po’ spariscono dal tavolo, perché dopo di lui la sua musica viene oscurata da grandi mutamenti che la rendono meno interessante. Ovviamente il più prolifico di tutti i tempi non può però sparire completamente e i numeri vengono riscoperti nell’ultimo secolo, come quelli di un grande che abbiamo per un po’ dimenticato.

Questo è un atto della serie sulla Matematica della Musica. L’atto precedente riguarda Vivaldi. Quello successivo Johann Sebastian Bach.

Tra cerchi e radici: matematica tra le note

5 Repliche

Da diverso tempo volevo scrivere qualcosa sui legami tra matematica e musica, da esperto della prima con qualche rudimento della seconda. L’occasione mi è offerta da un lavoro che ho svolto per testare le capacità di diverse piattaforme IA. Questo è diventato il primo di una serie di post che ho raccolto in questa pagina.

Mi sono reso conto che non c’è inizio migliore che parlare delle note. Do, Re, Mi… quelle.

Gli scrittori antichi che ci tramandano notizie sui cosiddetti pitagorici raccontano storie di corde. Ossia della scoperta che l’armonia dei suoni si ottiene suddividendo corde secondo numeri interi e rapporti semplici (a metà, a due terzi, a tre quarti…). Pare che questo abbia avuto una rilevanza notevole nella formulazione della teoria pitagorica del tutto è numero.

Una corda come unità di misura

Immaginiamo uno strumento con una corda lunga “1” (metro? piede? non importa: è la corda lunga 1, l’unità di misura). Quando la “suoniamo” otteniamo una certa nota (diciamo un Do). Se blocchiamo la corda a metà e la suoniamo otterremo un altro Do, solo più acuto (un’ottava sopra). Stoppando la corda a $\frac{2}{3}$ della lunghezza otterremo un Sol (una quinta sopra la nota di partenza). Bloccandola a $\frac{3}{4}$ un Fa (una quarta sopra la nota di partenza).

Il Do alto è una quarta sopra il Sol, che, a sua volta, è una quinta sopra il Do basso. Se prendo la corda lunga $\frac{2}{3}$ (Sol) e la stoppo ai suoi $\frac{3}{4}$ (una quarta sopra), avrò stoppato la corda di partenza ai suoi $\frac{2}{3}\times\frac{3}{4}=\frac{2}{4}$ , ossia a metà. Il Do alto, appunto.

Questi “quarta” e “quinta” vengono da un modo bizzarro di contare i gradi della scala, che conta pure gli estremi: Do, Re, Mi, Fa: sono quattro, una quarta.

In realtà, facendo qualche calcolo, a chi ha studiato queste cose è venuto in mente che di gradi ne usiamo un po’ di più. Perché, ad esempio, tra Fa e Sol si può immaginare una nota intermedia. In realtà se ne possono immaginare infinite, di note intermedie. La nostra musica occidentale ne mette due, o una sola.

L’uso occidentale è quello di dividere l’ottava in dodici semitoni, e una scala (anche qui ci sarebbe tanta matematica: di scale ce ne sono di tanti tipi diversi, a seconda dell’assortimento di toni e semitoni) ne usa solamente alcuni, tipicamente sette più l’ottavo che è come il primo, solo un po’ più su.

Calcoliamo le lunghezze?

Bellissimo, vero? Tutte le note spiegate in termini di frazioni semplici… un modo meraviglioso per vedere la matematica all’interno dell’armonia, o l’armonia all’interno della matematica, come preferite. Ma una matematica semplice: quella delle frazioni!

Procediamo di quinta in quinta salendo, moltiplicando ogni volta per $\frac{2}{3}$ la lunghezza della corda precedente (nel grafico, numeri in rosso). Inoltre, moltiplichiamo per 2 quando la corda si fa troppo corta e il suono diventa più acuto del Do alto che prendiamo come limite superiore. Contemporaneamente, procediamo per quinte discendenti, moltiplicando ogni volta per $\frac{3}{2}$ (nel grafico, numeri in viola), e, nel caso otteniamo un numero maggiore di 1, dimezziamo salendo di un’ottava.

Le righe colorate vanno lette in sequenza dall’alto verso il basso. La sequenza rossa di quinte ascendenti parte dal Do basso, raggiunge il Sol, poi il Re (alto, che viene abbassato raddoppiando) etc. La sequenza viola di quinte discendenti parte dal Do alto, raggiunge il Fa, quindi il Si bemolle (sotto il Do basso, che viene alzato dimezzando) etc. Nell’ultima riga, in nero un valore approssimato ai centesimi della lunghezza della corda, se la corda di Do basso è lunga esattamente 1: come si vede Fa# e Sol bemolle non sono esattamente identici, in questa costruzione.

Così dovremmo raggiungere tutte le note, almeno le 12 note che vediamo in una tastiera del pianoforte. La sequenza rossa dovrebbe essere questa. Do – Sol – Re (abbassiamo) – La – Mi (abbassiamo) – Si – Fa# (abbassiamo). Quella viola: Do (alto) – Fa – Sib (alziamo) – Mib – Lab (alziamo) – Reb – Solb (alziamo). A questo punto dovremmo chiudere il cerchio, se Fa# e Sib sono la stessa nota, come siamo abituati a pensare.

Il problema

Iniziate a vedere il problema? Ogni salto di quinta verso l’alto si ottiene moltiplicando il numeratore per 2 (o per 4, se contemporaneamente scendiamo di un’ottava) e il denominatore per 3. Ogni salto di quinta verso il basso, invece, si ottiene moltiplicando il numeratore per 3 e il denominatore per 2 (o per 4, se contemporaneamente saliamo di un’ottava). Alla fine, il Fa# dovrà avere a denominatore una potenza di 3, mentre il Solb una potenza di 2. Non c’è modo che due frazioni fatte così possano essere uguali.

Il cerchio non si chiude. E’ un problema? Non lo è per quegli strumenti in cui l’intonazione è decisa dall’orecchio del musicista: la nota la prende dove gli serve su una tastiera senza tasti (come quella di un violino) che gli permette di scegliere in una continuità di lunghezze possibili. Ma in uno strumento che ha una corda per ogni nota, è necessario sapere esattamente se la corda è lunga come un Mi# o come un Fa, se con una lunghezza di 0,74 o di 0,75, perché questa è la differenza.

Ecco che la scoperta dei cosiddetti pitagorici (quella dei rapporti semplici secondo numeri interi) funziona molto bene localmente, vicino alla nota centrale usata come riferimento, ma via via diventa complicata e approssimativa allontanandosi da questa.

L’alternativa

C’è un’alternativa. E richiede la rinuncia ai numeri razionali: ognuna delle 12 note successive al Do che ha una corda lunga “1”, ha una lunghezza di $\frac{1}{\sqrt[12]{2^n}}$ : ad esempio la corda del Fa è lunga $\frac{1}{\sqrt[12]{2^5}}\approx 0,749$ , molto vicino a 0,75 del Fa pitagorico; oppure quella del sol è $\frac{1}{\sqrt[12]{2^7}}\approx 0,667$ , anche questo molto vicino ai $\frac{2}{3}$ del Sol pitagorico.

Questa dei numeri irrazionali è una strada che mai i pitagorici avrebbero potuto intraprendere. Ci sono almeno due versioni diverse sulla brutta fine che capitò al pitagorico Ippaso di Metaponto, colpevole di aver scoperto l’incommensurabilità della diagonale e del lato del quadrato, ossia di aver dimostrato che esistono rapporti non esprimibili come frazioni (irrazionali). E infatti è l’aristotelico Aristosseno di Taranto, a suggerire l’idea, poi sviluppata tra il 1500 e il 1800, del temperamento equabile, che prende piede in modo ampio solo nel 1900 (dell’era cristiana). In mezzo, sia in senso temporale che di sfumatura, diversi tentativi di “buoni temperamenti”, cioè di sistemazioni delle note in modo da avere 12 semitoni in un’ottava, anche se con rapporti non tutti identici, ma che consentono, comunque, di suonare in tutte le tonalità (cosa impossibile nel pitagorico), spesso donando a ciascuna di esse una particolare coloritura (cosa che non avviene nell’equabile).

lunghezze delle corde nel temperamento equabile — Lunghezze delle corde secondo il temperamento equabile. Nell’ultima colonna i valori approssimati al centesimo. Come si vede le differenze sono piccole, talvolta sembrano non esserci. Tuttavia i valori di questa figura sono irrazionali, a differenza di quelli della figura precedente.

Questione d’orecchio

Non si tratta di questioni di lana caprina. Né dal punto di vista matematico, né da quello musicale.

Dal secondo, il cosiddetto comma pitagorico, cioè la differenza tra i punti di arrivo della costruzione del cerchio delle quinte secondo il temperamento pitagorico, è di quasi un quarto di tono, perfettamente all’interno delle capacità risolutive dell’orecchio umano. Questo agli estremi: per le posizioni intermedie comunque chi suona dice che la differenza tra i vari temperamenti si sente.

Effettivamente ci sono dei fenomeni fisici che in certe condizioni si verificano se le frequenze delle note non sono perfettamente multiple, i battimenti. Ad esempio, in questo video si può apprezzare, prestando attenzione e ascoltando più volte, le diverse vibrazioni prodotti da intervalli temperati in modo diverso. Gli intervalli di quinta, o di terza più o meno stretti caratteristici di questo o quel temperamento significano esperienze auditive diverse, una diversa resa dell’interazione tra strumenti e timbri diversi, una diversa fedeltà a ciò che coloro che quella musica l’hanno scritta o ascoltata per la prima volta hanno sentito davvero, visto che c’è una storia dietro ai diversi temperamenti.

Dal primo punto di vista, è un esempio abbastanza lampante delle diverse caratteristiche di numeri razionali e irrazionali, del loro emergere nella vita quotidiana, del fatto che, indipendentemente da come consideriamo i numeri, se li vediamo cioè come proprietà realmente presenti nel mondo che ci circonda, o come, invece, utili strumenti che la mente usa per rappresentare quello stesso mondo, essi ci interpellano anche in uno dei campi apparentemente più lontani dal rigore che solitamente riguarda la matematica, e lo fanno mettendosi i panni di veri e propri guastafeste, che ci impongono di scegliere cosa vogliamo salvare e in che misura: la simmetria di una struttura equa e ben misurata, e irrazionale, o la gradevolezza di un sistema perfettamente armonico, ma non dappertutto.

Questo post fa parte della serie La matematica della musica. Il prossimo post della serie riguarda Hildegard di Bingen.

Un primo augurio… matematico

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Da anni ormai sono iscritto alla newsletter di Rudi Mathematici, che ogni mese propone giochi, curiosità, quesiti e amenità varie (compreso un bel calendario) a base di matematica, come si può supporre dal nome.

Ecco, nel numero natalizio, ho trovato una riflessione che ritengo interessante e che vi propongo qui, virgolettata per rispettarne la paternità (direi due terzi di paternità e un terzo di maternità, vista la composizione del gruppo editoriale che cura la rivista online).

Parlando del visitatore in un reparto di maternità di un ospedale, dice,

(…) lo spettatore non poteva non ricordare la facile progressione: un bimbo, due genitori, quattro nonni, otto bisnonni, sedici trisavoli, eccetera. Infilandoci la variabile tempo, valutata nell’arbitrario (ma ragionevole) parametro di 25 anni a generazione, la progressione diventava: un bimbo (0 anni), due genitori (25), quattro nonni (50), otto bisnonni (75), sedici trisavoli (100), e così via. E non ci vuole niente, specie se si ha disposizione un foglio elettronico, a continuare. Solo che continuare mostra subito che c’è di sicuro qualcosa di strano, senza bisogno di risalire per tutto il milione di anni di età dell’Homo Sapiens, perfino senza arrivare alle poche migliaia di anni che separano la nostra storia dalle preistoria. Tanto vale fermarsi a 2000 anni fa, visto che la tradizione festeggia la nascita di un celebre bambino avvenuta più o meno in quel periodo. E allora il conto ci porta venti secoli indietro, ad appena 80 delle generazioni standard da 25 anni che abbiamo ipotizzato. Probabilmente sono molte di più, nei tempi andati si diventava genitori prima. Ebbene, la bimba che vagiva nel nido della nursery, secondo questa proliferazione geometrica, registra, intorno all’(inesistente) Anno Zero della nostra era, più di $10^{24}$ antenati. Dieci alla ventiquattresima, ovvero 1.000.000.000.000.000.000.000.000, ovvero un milione di miliardi di miliardi. Molti, molti, molti di più di tutti gli esseri umani mai vissuti.

Risultato impossibile, ci deve per forza essere qualcosa che non va nei presupposti. Nelle ipotesi, diremmo su RM. E infatti c’è davvero: l’errore più evidente sta nel presupporre tutti gli antenati (nel vero e proprio senso etimologico di “ante nati”, nati prima) come persone distinte l’una dall’altra. Non è affatto così, ci mancherebbe; ma il risultato è così spaventosamente grande che anche con questa correzione il significato ultimo non cambia poi molto: e poi il fatto che gli antenati non siano tutti diversi non fa altro che rafforzarlo, il significato ultimo. Perché basta questo facilissimo calcolo a dimostrare che ogni singolo bambino che nasce è, letteralmente, il riassunto vivente di tutta l’umanità precedente. Ogni persona vissuta è riepilogata nella carne di un nuovo nato.

Basta un giochino di dieci secondi coi numeri, per accorgersi che dire che siamo tutti fratelli è tutt’altro che un’esagerazione. È anzi probabilmente riduttivo: siamo più che tutti fratelli, siamo tutti la stessa persona.

E se il messaggio tradizionale, mistico, religioso, dice più o meno la stessa cosa, beh, tanto meglio.

Sarebbe bello se i numeri avessero la forza convincente che meritano. Perché è vero che anche i fratelli litigano, e che capita addirittura di essere in conflitto con se stessi. Ma è difficile negare a un parente, a un fratello (o a sé) la dignità che si concede a se stessi.

Un mio primo augurio per questo Natale, a me stesso prima di tutto, è la convinzione che l’umanità è molto più che un concetto. Che ogni volta che ci troviamo di fronte un estraneo, un diverso, qualcuno terribilmente distante dal nostro quotidiano, possiamo sentire la forza dei numeri, il suono dei geni, e vedere i nostri stessi lineamenti nel volto altrui. Ci risparmieremmo tante, ma tante idiozie che facciamo, diciamo, pensiamo.

Auguri.

aa's blog

dire, fare, baciare…