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Piano roll del notturno op 48 n 1

Chopin, o del tempo in libertà vigilata

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Un passo, due passi, tre passi.
Mi siedo. Respiro. Un aroma: cos’è? Mi rialzo.
Un passo, due passi, tre passi.
Mi guardo intorno: possibile? Profumo di donna? Un profumo dispendioso? Dov’è?
Un passo, due passi, tre passi.
No, forse non è nulla. Odore della foresta alle mie spalle. Il vento lo porta, caldo.
Un passo, due passi, tre passi.
Chiudo gli occhi. È il profumo dell’amore di una donna, dei suoi capelli finalmente acconciati per lui. Ma lui non c’è. Li riapro.
Un passo, due passi, tre passi.
Guardo in alto. Tre uccelli, neri contro il cielo azzurro, volteggiano senza battere le ali. Sotto di loro un grosso uccello grigio.
Un passo, due passi, tre passi.
Sembra più goffo, ma lui si tuffa, lui pesca. Gli altri tre lo guardano dall’alto. Volteggiano nelle correnti.
Un passo, due passi, tre passi.
E il mare: possenti onde verdi si abbattono a centinaia di metri da me, su altre onde, su altro mare. E qui sulla spiaggia arrivano solo bave di schiuma a lambirmi i piedi.
Un passo, due passi, tre passi.
Profumo di foresta, amore di donna. Uccelli che volteggiano, un pellicano che si tuffa.
Un salto, due salti, tre salti.
Non mi fermo, voglio arrivare alle piante, coglierne il segreto che ricorda i capelli di una donna innamorata.
Un salto, due salti, tre salti.
Non mi fermo, voglio bagnarmi nel mare, voglio accarezzare il pellicano, incurante delle fregate invidiose.
Un salto, due salti, tre salti.
È lui, quello che si tuffa, quello che rischia, quello che pesca: non è goffo, è pesante di vita.
Un salto, due salti, tre salti.
Sono tra gli spruzzi, immerso nel profumo, la foresta è lontana.
Un salto, due salti, tre salti.
Le fregate magnifiche si divertono lassù. Giocano col vento. Sarebbe bello sapere se pensano, e cosa pensano, di noi quaggiù.
Un salto, due salti, tre salti.
Mi tuffo. Le onde mi colpiscono. Io resisto. Le onde mi colpiscono. Io resisto.
Un salto, due salti, tre salti.
E imparo a sorvolare la cresta bianca, a leggere i ventri verdi, a galleggiare in un mondo che si muove e mi colpisce.

Non so se ricordate Frescobaldi. Quello che nel 1615 scriveva “non dee questo modo di sonare stare soggetto a battuta”. Ossia: suonate le mie toccate e le mie partite per clavicembalo, ma interpretate. Non c’è bisogno che teniate il tempo come se fosse sempre uguale. Alla fine, è uno strumento solo, e le due mani sono comandate dallo stesso cervello. Riuscite a farle andare insieme anche se governate il tempo con elasticità: fate un po’ come il “canto” vi suggerisce.

Chiaramente dopo di lui c’è stato chi queste indicazioni le ha tenute più presenti. Altri non hanno potuto (quando bisogna mettere insieme più voci o strumenti, questa libertà è molto difficile e va costruita).

Il salto è vertiginoso: duecento anni. E non solo per i duecento, ma per cosa è accaduto alla musica in questi duecento anni. E arriviamo a Fryderyk Chopin, polacco naturalizzato francese. (Il Grande Esilio portò a Parigi diversi esponenti della vita culturale di Varsavia a seguito della repressione russa della rivolta del 1830). Chopin si occupa quasi esclusivamente di uno strumento, il pianoforte (ormai molto simile a quello che conosciamo oggi).

Nella sua produzione troviamo Sonate, Concerti per pianoforte e orchestra, Preludi, Scherzi, Fantasie, cioè letture personali di canoni già codificati. Ma troviamo anche nuove forme, nuove tipologie di composizione, spesso legate alla musica tradizionale polacca, ma non solo. Valzer, Polonaises, Mazurke, Notturni, Ballate, Studi: titoli che chi studia oggi il pianoforte conosce molto bene, e che associa in modo quasi automatico al pianista polacco. Anche se non le ha inventate lui, il suo contributo è stato essenziale nella loro diffusione.

Il Notturno è forse la forma più libera, tra le novità chopiniane (in realtà è stato inventato dall’irlandese John Field un paio di decenni prima di quelli editi da Chopin). Notturno come una composizione intima, che il compositore e pianista suona per sé nel momento della solitudine della notte. Nel periodo romantico il compositore non è più il prestigiatore che manipola le affezioni del pubblico usando un arsenale di forme standard; è ormai colui che traduce in note i propri sentimenti perché altri li possano condividere, come se fossero spettatori “di nascosto”.

E a Chopin riesce l’intento di prendere una forma molto semplice e spontanea, quella di Field, e di renderla un format di successo. Come? Con regole precise che codificano più che un genere, il tipo di effetto che deve produrre. Regole nascoste in bella vista: basta ascoltare con attenzione le forme e non solo il sentimento, per coglierle.

Cosa eredita da John Field? Una composizione semplice, in cui c’è una melodia (solitamente idilliaca, si vede che Field aveva notti serene) e un accompagnamento ben delineati. Il tempo è fissato e scandito solitamente dall’andamento della mano sinistra.

Ad esempio, qui il Notturno n. 5 di John Field.

Cosa aggiunge Chopin? Una struttura generalmente tripartita ABA’; un carattere nuovo dinamico e cangiante, non necessariamente idilliaco ma con forti contrasti emotivi; modulazioni ardite, sviluppo degli elementi melodici più flessibili.

La cosa per cui diventa interessante anche da un punto di vista matematico è la gestione del tempo. Anche in questo caso, come in Field, l’accompagnamento detta il tempo, ed è un tempo preciso: può cambiare all’interno del brano, ma di sezione in sezione; ci possono anche essere dei momenti di accelerazione o rallentamento, ma all’interno di una sezione il tempo è scandito in modo uniforme.

La melodia, invece, gode di una libertà nuova. Nell’ambito del metronomo dell’accompagnamento, la linea melodica può perdere precisione: spesso è Chopin stesso che, “sbagliando” opportunamente i calcoli, impedisce una perfetta contemporaneità tra il tocco delle due mani; e questo per lasciare alla mano che porta la melodia (solitamente la destra) la libertà di seguire le frasi, di interpretare l’espressione, senza preoccuparsi di “andare a tempo”.

Una libertà non assoluta. Alla fine della battuta, o della frase, comunque, le due mani devono essere insieme. Quindi se la melodia è in anticipo, deve poi aspettare, o se è in ritardo deve affrettarsi, in modo che il ruolo metrico dell’accompagnamento sia rispettato.

Un notturno che vale la pena ascoltare da questo punto di vista è l’op. 48 n. 1.

Questo notturno è diviso in 3 parti. (ABA’, dicevamo).

A. Si vede benissimo, grazie a questa visualizzazione tipo “piano roll”, nella sinistra la regolarità dell’accompagnamento fatto di ottave al basso e accordi nel registro intermedio. La melodia è appannaggio della mano destra. La libertà di cui gode si sente, più che vedersi: si sente che la melodia non procede con lo stesso passo dell’accompagnamento, ma ha scatti ed indugi. Prima sezione in Do minore.


B. Un momento corale in Do maggiore. Parte con accordi in stile organistico, poi via via entrano arpeggi di ornamento, ma anche una serie di figure ad ottave nel basso, che portano ad una suddivisione ritmica più rapida e preparano per A’.

A’: è A’, cioè una riproposizione di A, con qualcosa di nuovo. Di nuovo c’è un accompagnamento non più sui quattro quarti della battuta, ma in terzine di crome, quindi con una suddivisione tre volte più fitta, per non parlare del fatto che la melodia stessa è comunque più veloce dell’inizio. Inoltre, l’accompagnamento è ora condiviso tra mano destra e sinistra, e questo porta, inevitabilmente, alla difficoltà ulteriore di una mano destra che fa contemporaneamente due cose che richiedono tempi letti e interpretati in modo diverso: deve essere inflessibile sull’accompagnamento, ma anche respirare liberamente nella parte melodica. Chopin aiuta: inserisce quartine di semicrome nella destra in modo che l’incastro tra melodia e accompagnamento sia un 4 contro 3, e la mano destra non sia vincolata a stare sulle terzine dell’accompagnamento.

Le ultime battute, pur nel rallentando finale, mostrano in modo evidente questi due modi di vedere il tempo e di metterli in relazione: l’accompagnamento tarda a spegnersi, proseguendo nel suo moto in terzine, ma quando finalmente tace, la mano destra riprende la parola con una frase ascendente espressiva e dal tempo (questa volta, finalmente) libero.

Chopin ha imparato la lezione di Mozart: la struttura conta, anche nella musica sentimentale romantica, e conta tanto più quanto riesce a nasconderla senza cuciture nel tessuto musicale.

Questo è un atto della serie sulla Matematica della musica. L’atto precedente riguardava Beethoven. Anche il prossimo atto, invece, sarà su Chopin.

L'orologio di Haydn l'orologiaio

Haydn (2), l’orologiaio della forma

2 Repliche

Ogni notte lo stesso sogno.
Mi sveglio sulla spiaggia e cammino.
Ogni notte la stessa spiaggia.
Vado lento, i piedi bagnati che sprofondano.
Ogni notte lo stesso sprofondare.
A volte salto, c’è qualche ostacolo.
Ogni notte lo stesso ostacolo.
E’ un granchio, una chela che sporge.
Ogni notte la stessa chela.
E riprendo a camminare, finché la spiaggia s’interrompe.
Ogni notte la stessa interruzione.
E’ un fiume, l’estuario, che devo attraversare a nuoto.
Ogni notte lo stesso nuotare.
E’ breve, risalgo presto, riprendo a camminare.
Ogni notte lo stesso camminare.
Poi vedo una roccia, con un albero sopra.
Ogni notte la stessa roccia.
Le radici abbracciano la pietra.
Ogni notte le stesse radici.
Mi siedo sotto l’albero.
Ogni notte lo stesso albero.
E mi addormento, e sogno.
Ogni notte lo stesso sogno.

Ogni notte lo stesso sogno.

Haydn presso gli Esterházy per quasi trent’anni ha avuto a disposizione tempo, musicisti, sempre gli stessi, e vicinanza alla vita viennese, per studiare, provare, sperimentare. Un laboratorio ideale per mettere a punto la perfezione.

Metaforicamente, Franz Joseph è un orologiaio: per tutta la vita mette a punto lo stile galante che prende il posto del barocco. Nel farlo, ne diviene un riferimento indiscusso, anche perché lontano dai riflettori e dagli intrighi di palazzo.

Lascia un’eredità che influenza il secolo successivo, come dicevamo. Una scrittura accurata e ricca di espedienti per far arrivare all’ascoltatore la complessità senza che questi sia confuso. Un trattamento dell’orchestra che valorizza tutte le famiglie, tutti gli strumenti, anche solo per poco. Haydn prepara dialoghi in cui tutti, anche i più timidi (o quelli più versati nell’accompagnamento), possono partecipare in modo sensato. Lascia dei canoni, delle strutture vincenti, che permettono tutto ciò, a diversi livelli di scala.

Lascia anche un trattamento del tempo che sarà molto prezioso per i suoi diretti successori. Un tempo sdoppiato, diviso tra il battere e il levare del ritmo da una parte. Dall’altra il tempo più flessibile ed elastico della melodia, che si appoggia sul primo, ma non è limitato da esso.

Questo modo di concepire il tempo musicale è spesso nascosto nel gioco a rimbalzo delle linee melodiche tipico della scrittura di Haydn. Ma ci sono alcuni momenti in cui emerge in tutta la sua evidenza.

Nel quartetto “L’allodola” (op. 64 n. 5) il primo tempo inizia con una melodia staccata portata dal violino II, viola e violoncello. Pare essere il primo tema: molto regolare e con un ritmo ben preciso. Manca però all’appello il violino I. Quando questo entra, lo fa con il canto dell’allodola, che si libra su questo metronomo melodico. Quello che sembrava il tema viene subito declassato ad accompagnamento.

L’esempio più chiaro ed evidente, però, è quello della sinfonia n.101 (ancora una londinese), “L’orologio” proprio per via di quell’Andante (II) in Sol maggiore che simula il ticchettio di un orologio, affidato ai pizzicati degli archi, esclusi i violini primi, e al fagotto. Poi c’è un intermezzo in Sol minore, che, nonostante l’indicazione “Andante” è un esempio di “minore agitato” (come ad esempio la prima parte del finale della sinfonia degli Addii, vista nel post precedente), in cui la distribuzione delle linee melodiche è molto caratteristica, vincolata dalla maggiore chiarezza necessaria a causa della tonalità cupa e dal ritmo incalzante, e fa parte dell’armamentario che Haydn mette a disposizione del sinfonismo viennese. In questa sezione il ticchettio non sparisce, ma anzi Haydn lo potenzia rendendolo minaccioso, distribuendolo e rafforzandolo con figure puntate che evidenziano anticipando ogni battito, e con l’intervento a supporto di trombe e timpani.

Poi torna il sereno del Sol maggiore, con il meccanismo a orologeria questa volta ridistribuito tra fagotti e flauti. Dopo una bizzarra modulazione in Mi bemolle maggiore, si torna al Sol maggiore, ma questa volta il ticchettio viene assunto a turno da tutti i gruppi strumentali, e persino la voce melodica dei primi violini, passando in sestine, assume una ritmicità rigida e “si adegua” al ticchettio di tutti.

E’ importante notare la centralità dell’elemento ritmico, e di un elemento ritmico costante e regolare. In questi esempi tale centralità è evidente, ma rimane anche laddove la struttura non la rende così palese. Anche questo è un lascito che gli eredi faranno proprio in modo diverso, ma sempre consapevole. Il ritmo, per quanto possa non essere quello a cui siamo abituati nella musica moderna, è fondamentale nella musica di ogni periodo, e ancor più nel momento in cui la scrittura non prevede una sezione ritmica dedicata, ma distribuisce il carico di questa funzione fondamentale su tutti gli strumenti.

La consegna a cui risponde il brano di apertura è coerente con quanto abbiamo visto. Scrivi un testo in cui una struttura fissa e ripetuta — una frase, un’immagine, una parola — scandisce il tempo come un ticchettio, mentre attorno ad essa si sviluppa una narrazione libera e variabile. La struttura fissa deve tornare a intervalli regolari, identica a se stessa, indipendentemente da ciò che accade nella narrazione. Obiettivo: sentire come la regolarità del meccanismo non imprigioni la libertà espressiva, ma la renda possibile — esattamente come il ticchettio di Haydn non opprime la melodia, ma la sorregge.

Questo è un atto della serie sulla Matematica della musica. Anche il post precedente riguardava Franz Joseph Haydn, mentre il prossimo sarà il primo su Wolfgang Amadeus Mozart.

Il tempo elastico

Frescobaldi: il tempo elastico

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Clarke è seduto in ufficio, volge le spalle alla scrivania e guarda il Tamigi e la Tate Britain attraverso il filtro verde della vetrata.
Ha in mano una tazza di tè, che fa oscillare dolcemente e, di tanto in tanto, porta alla bocca.
Bussano alla porta; Clarke scatta, si volta, posa la tazza sul piattino e risponde.
Entra un uomo grasso, che saluta Clarke con un soprannome, avanza deciso verso un angolo della scrivania, sul quale va a sedersi.
È Stephson, della sezione Est Europa, entrato nei Servizi più o meno con Clarke: si conoscono bene, e si vede.
Clarke chiede come sta la famiglia, Stephson risponde goffamente con gesti e smorfie che dovrebbero essere rassicuranti.
Poi viene al dunque: pare che l’Ucraino sia in possesso della localizzazione di una risorsa sul campo e, per qualche motivo, stia cercando di farla uscire.
Risorsa? Di che tipo? chiede Clarke.
Un civile, italiano, bravino con i rompicapo, ha dato una mano al Doughnut ogni tanto; è uno a cui dobbiamo dare il tempo di sparire.
Vogliamo rimanere in contatto con lui o sparisce anche dai nostri radar? Chiede Clarke.
Clarkey, l’Ucraino la posizione l’ha avuta da qui dentro, risponde Stephson. Clarke ha capito, prende la cornetta, digita un interno.
Dolores? Come va il mercato oggi? Sì, per il momento uno, Hammersmith, l’ospedale, poi eventualmente Scotland Yard. Per i dettagli arriva Stephson. Immediato, grazie. Riaggancia.
Dovete dire al “vostro uomo all’Avana” di darsi alla macchia, dice Clarke.
Stephson si alza, ringrazia, e con passo impacciato se ne va.
Clarke prende la tazza tra le mani, è ancora calda; segna un appunto a matita sul foglio davanti a sé e poi gira di nuovo la sedia verso la vetrata smeraldina alle sue spalle, e riprende a gustare il tè e il panorama, pensando a un uomo in fuga, da qualche parte in Italia.

Un altro atto nel nostro percorso, il settimo. Questa volta la consegna era:

Scrivi un testo di quindici frasi su un tema che implica movimento — un viaggio, un inseguimento, un risveglio, una caduta. Il vincolo non riguarda il contenuto ma la velocità: stabilisci prima una sequenza di velocità per le tue frasi — per esempio lenta, lenta, veloce, veloce, veloce, lentissima, veloce, lenta, velocissima, ferma, lenta, veloce, lenta, lentissima, ferma — e rispettala senza deroghe. La velocità si ottiene con la lunghezza delle frasi, la densità delle parole, la presenza o assenza di punteggiatura. Obiettivo: sentire come la variazione controllata della velocità non sia ornamento ma struttura.

Questa struttura di controllo della velocità, se il metro della misura è costante, significa una struttura di controllo del tempo. Se la battuta contiene sempre la stessa quantità di musica, cambiare velocità significa cambiare il tempo in cui questa musica viene eseguita.

Colui che per primo si rende conto di questo e lo teorizza è Girolamo Frescobaldi (1583-1643). Nella prefazione al suo primo libro di toccate dice esplicitamente “al lettore”, che la sua musica “non deve stare soggetto a battuta”, ma deve adattarsi, come già avveniva nella prassi esecutiva dei madrigali dell’epoca, agli “affetti” o al “senso delle parole”. Il tempo non è più un metronomo che batte inesorabile, ma è quello che l’esecutore ritiene più adatto, frase per frase, per esprimere gli “affetti”.

Ci sarebbe tanto da dire su questi “affetti”. Non si parla qui delle emozioni del compositore, né di quelle dell’esecutore: per arrivare a questo genere di espressione ci vorranno ancora un paio di secoli. Gli affetti di cui, in questo periodo che si può già indicare come barocco, sono gli effetti interiori che autore ed esecutore intendono suscitare nell’ascoltatore. E che, più avanti in quel periodo, vengono codificati con particolari strutture musicali: per suscitare stupore è necessario che la musica abbia certe caratteristiche, per la malinconia altre.

Ecco, per ottenere questi effetti Frescobaldi ci dice che si può rallentare o accelerare il flusso della musica, tenere note in sospeso, precipitarne altre. La cinematica della musica acquista l’accelerazione e la decelerazione, e diventa varia.

Con qualche effetto di compensazione: se si accelera prima o poi sarà necessario rallentare, e viceversa, nell’ottica dell’equilibrio che già con la musica rinascimentale avevamo imparato ad apprezzare.

Questo post è un atto del percorso su Matematica e musica. Il post precedente riguarda Claudio Monteverdi, il successivo Jean-Baptiste Lully.

la Cappella Sistina e l'organizzazione dello spazio come strumento per i due cori

Allegri: lo spazio come strumento

2 Repliche

Dobbiamo prendere provvedimenti
nei confronti del giovane; non sa quel
che vuole, quest’errore sia fermato.
Obbediente scompare la fanciulla
nelle sue stanze, non lo cercherà:
deve dimenticarla, non c’è scampo.

Dice che l’ama, dice di vedere
una, due case in cui viver con lei
senza viver con lei, se questo vuole,
amandosi vicini ma lontani.

Per il bene di lui gli costruiremo
una rete d’aiuti per capire
che noi sappiamo il suo bene qual è.
Gli troveremo un’altra che lo ami
che un giorno imparerà a chiamare moglie,
purché da qui in pace si ritiri.

Dice che del suo bene non discute
con chi non è capace di vederlo
sorridere coi cari di lei occhi,
dice che mente chi vuole il suo bene
senza parlare di quello di lei.

Fuori spingiamolo, non più parlargli
dobbiamo, isoliamolo e allora
lo vedremo convinto a dare a un’altra
ciò che non può più donare a colei
che ormai non gli rivolge la parola.

Ed è solo per questo che Romeo se n’è andato,
e non vi disturberà più.

Romeo se n’è andato, non ci disturberà più

Lo spazio della pagina può essere strumento, come in una poesia impaginata così. Ma ormai l’avrete capito: anche questo è un esercizio di scrittura, e la consegna dice questo:

scrivi un testo per due voci che non si trovano nello stesso luogo — una voce vicina e una lontana, una voce interna e una esterna, una voce presente e una assente. Le due voci non dialogano direttamente: si alternano, ciascuna ignara dell’altra. Eppure il testo complessivo deve avere senso come se le due voci stessero rispondendo a una stessa domanda che nessuna delle due pronuncia esplicitamente. Il vincolo: le due voci devono unirsi nell’ultimo passaggio in un momento di sintesi dell’intero testo.

L’immagine della Cappella Sistina rispecchia questa struttura. Due cori, uno sulla cantoria, uno nascosto a fianco dell’altare maggiore, uno in alto e uno in basso, entrambi vicino alla parete che proietta il suono verso l’assemblea.

Gregorio Allegri (ca 1582-1652) è famoso principalmente per una composizione, il Miserere, la resa per coro del Salmo 50. Si tratta del salmo penitenziale per eccellenza, spesso integrato nella liturgia. Zio Greg (il mio figlio #1 così lo chiama, supponendo un’improbabile parentela) scrive per la cappella pontificia di Urbano VIII Barberini. Ha a disposizione la Cappella Sistina e la usa per mettere in scena effetti sonori innovativi. Usa lo spazio come uno strumento musicale.

La scrittura originale era probabilmente lacunosa, per lasciare spazio agli abbellimenti che i cantori spontaneamente e solitamente introducevano. La sovrapposizione delle voci si rispecchia nella sovrapposizione delle versioni del Miserere. Dalla prima metà del 1600 fino ad oggi l’evoluzione del testo, tra tentativi di completare la scrittura, errori di trascrizione e sedimentazioni della prassi esecutiva, è notevole. La versione che ascoltiamo oggi più comunemente presenta delle caratteristiche che, inseritesi per diversi motivi lungo i secoli, sono state assorbite e apprezzate dal pubblico.

Però la struttura matematica è chiarissima. La forma antifonale (in questo caso: due cori, in altri un solista e un coro, che si alternano cantando strofe speculari di un salmo o un cantico, spesso incorniciato da un’antifona, che riprende il tema del canto), antichissima, è qui evidente. I due cori, tuttavia, sono asimmetrici in numero (5+4 voci), posizione e qualità sonora. Le due voci si spartiscono i versi del salmo, non si parlano direttamente, ma si alternano nel portare il significato, nel fondere le loro voci, lontane tra loro, riverberate sulle pareti vicine. E la coerenza finale del testo è quella data dal contenuto: il Salmo 50, la richiesta di misericordia da parte della comunità dei fedeli che ha come fine il gradimento da parte di Dio delle offerte del popolo, la benevolenza del divino.

Quanti livelli di geometria: dello spazio, del tempo, delle voci, in un unico brano. Un nuovo atto nel mio percorso di scoperta della matematica nel mondo musicale. Se vuoi seguirlo, inizia qui e segui poi con Hildegard, Pérotin e Palestrina, fino a questo punto. Il prossimo post riguarda Monteverdi. E questa è la pagina della serie La matematica della musica.

Pérotin, o del tempo frazionato

Pérotin, o del tempo frazionato

3 Repliche

Alle 6:00 Ivan si svegliò a Hammersmith. Sapeva che non si sarebbe alzato da letto, non per pigrizia: l’incidente non gli lasciava molto da fare se non aspettare.

Alle 6:00 Irina si svegliò a Kensington, fece una doccia, uscì dal suo albergo e prese la metropolitana.

Alle 6:00 anche Jane si svegliò a Vauxhall, fece una doccia, uscì dal suo albergo e si avviò verso la metropolitana.

Alle 6:00 infine Mary si svegliò a Borough, fece una doccia, scese nella sala della colazione del suo albergo e prese un caffè lungo con un croissant, uscì dall’albergo e si avviò verso la metropolitana.

Alle 7:00 Irina uscì dalla metropolitana, si fermò a uno stand di giornali e comprò il Times, poi si avviò a piedi. Alle 7:30 si infilò in una caffetteria, dove ordinò un caffè lungo e un piatto di uova strapazzate col bacon.

Alle 7:00 Jane uscì dalla metropolitana, si fermò a uno stand di giornali e comprò il Times, poi prese un bus. Alle 8:00 scese e proseguì a piedi.

Alle 7:00 Mary uscì dalla metropolitana, mandò un messaggio al telefono e poi lo spense. Prese un bus. Alle 8:30 scese e proseguì a piedi.

Alle 8:00 Irina uscì dalla caffetteria ed entrò in un ospedale. Alle 8:30 ne uscì, con qualcosa in tasca. Prese un autobus.

Alle 8:00 Jane uscì dalla caffetteria e si incamminò lungo la stessa strada. Verso le 8:15 entrò in un negozio di valigie. Alle 8:30 ne uscì con un trolley nuovo. Alle 8:45 entrò in una libreria. Quando ne uscì alle 9:00 il suo trolley aveva l’aria di essere più pesante.

Alle 8:00 Mary scese dall’autobus, attraversò la strada e si fermò a uno stand di giornali ed acquistò il Times. Poi entrò nel parco, dove trovò una panchina e si sedette. A leggere il Times.

Alle 9:00 Irina scese dal bus, ed era di fianco al British Museum, ancora chiuso. Entrò in un negozio di cartoleria, alle 9:15. Ne uscì dopo pochi minuti e aveva al dito un piccolo rotolo di scotch. Alle 9:30 si sedette in una caffetteria, dove ordinò un succo di pompelmo, e si mise a leggere il Times.

Alle 9:00 Jane entrò in un negozio di lingerie. Ne uscì alle 9:30, dopo aver inserito nel trolley quel che aveva comprato. Alle 9:45 entrò in un negozio di cosmetici.

Alle 9:00 Mary uscì dal parco, prese un bus. Alle 9:30 ne scese e proseguì a piedi.

Alle 10:00 Irina si alzo dal tavolino della caffetteria, pagò, uscì e si mise in fila per entrare al British Museum. Alle 10:30 entrò e mandò un messaggio dal proprio cellulare. Poi si avviò verso la galleria Duveen, e si sedette ad ammirare i marmi di Elgin. Alle 10:45 appoggiò la copia del Times sulla panchina, si alzò per guardare un fregio da vicino. Poi si sedette di nuovo. Riprese in mano la copia del Times e se ne andò verso la Stele di Rosetta.

Alle 10:00 Jane si mise in fila per entrare al British Museum. Alle 10:15 entrò e mandò un messaggio dal proprio cellulare, poi si avviò verso la galleria Duveen, e si sedette ad ammirare i marmi di Elgin. Intanto che ammirava appoggiò la copia del Times sulla panchina. Alle 10:45 raccolse una copia del Times e se ne andò verso il tesoro di Sutton Hoo.

Alle 10:00 Mary entrò in una caffetteria, ordinò un succo di pompelmo e si sedette a un tavolino. Sotto il tavolino c’era un pezzetto di scotch, e qualcosa attaccato ad esso. Mary aprì il trolley, ne estrasse un Penguin con con la vita e le opinioni di Tristram Shandy gentiluomo, staccò lo scotch dal tavolino e lo inserì nel libro, che poi ricacciò nel trolley. Alle 10:45 si alzò, lasciò la sua copia del Times, pagò e uscì, avviandosi a piedi.

Alle 11:00 Irina uscì dal British Museum. Fece pochi passi e, alle 11:15 venne arrestata e portata alla più vicina stazione di polizia. La polizia pareva particolarmente interessata al giornale che ella aveva con sé.

Alle 11:00 Jane uscì dal British Museum. Fece pochi passi e, alle 11:15 venne arrestata e portata alla stazione di polizia, un’altra. La polizia, anche nel suo caso, pareva molto interessata al giornale che ella aveva con sé.

Alle 11:00 Mary prese la metropolitana.

Alle 12:00 Irina richiese un duty solicitor.

Alle 12:00 anche Jane richiese un duty solicitor.

Alle 12:00 Mary scese al Terminal 5 di Heathrow, con il suo trolley.

Alle 13:00 Irina fu interrogata alla presenza del suo difensore d’ufficio.

Alle 13:00 anche Jane fu interrogata alla presenza del suo difensore d’ufficio.

Alle 13:00 Mary si sedette al gate, in attesa del volo per Cracovia.

Alle 14:00 Irina fu rilasciata. Alle 14:15 si fermò in una caffetteria, prese un succo di pompelmo e un uovo strapazzato, e spedì un messaggio.

Alle 14:00 Jane fu rilasciata. Alle 14:45 si fermò in una caffetteria, prese un croissant e un caffè lungo e inviò un messaggio.

Alle 14:00 Mary si sedette a bordo, mandò un messaggio, mise il cellulare in modalità aereo e partì.

Alle 14:00 Ivan ricevette un messaggio, poi un altro alle 14:15 e un altro ancora alle 14:45; quindi sorrise, spense il cellulare e si addormentò.

Un po’ lunghetto. Ma se sei riuscito a resistere fin qui, confesso: anche in questo caso ho agito rispondendo a una consegna compositiva ben precisa. Questa:

Scrivi un breve racconto strutturato su tre o quattro “voci” (personaggi) seguendo queste regole matematico-compositive:

Il Tenor: scegli un personaggio che rimanga immobile o confinato per tutta la durata del racconto. Questo personaggio rappresenta il fondamento su cui poggia l’intera struttura.

Le Voci Superiori: Crea altri due o tre personaggi che partano tutti nello stesso istante, ma che si muovano a velocità diverse e compiano azioni differenti.

La Consonanza: Stabilisci dei punti orari precisi (es. le 10:00) in cui le traiettorie dei personaggi devono incrociarsi fisicamente o idealmente.

Il Micro-ritmo: Inserisci piccoli dettagli che fungano da “fioriture” rapide sopra il flusso lento del tempo.

A chi assomiglia questa struttura? A cosa? Beh, è pensata per ricalcare un Organum di Pérotin (XII-XIII secolo).

In un’epoca in cui la musica era quasi sempre una linea singola (il Canto Gregoriano), Pérotin introduce la dimensione del tempo frazionato. Al centro della sua architettura mette il Tenor: una melodia antica, sacra, stirata a tal punto che ogni sua nota diventa un pilastro immobile, un “Ivan” che aspetta. Sopra questo gigante addormentato, Pérotin fa danzare altre due o tre voci (Duplum, Triplum, Quadruplum).

Queste voci sono le nostre “Irina, Jane e Mary”: si muovono agilmente, si rincorrono con ritmi diversi, s’intrecciano in modi complessi ma tornano sempre a incontrarsi sulle note del Tenor. La matematica di Pérotin non è un calcolo freddo, ma l’arte di gestire il traffico delle anime nel tempo: è la scoperta che più voci possono abitare lo stesso istante, ognuna con la propria velocità, senza che l’unità del tutto venga mai meno.

Un esempio: Viderunt omnes.

Questo post fa parte della serie La matematica della musica. L’atto precedente parla di Hildegard di Bingen, e quella successiva di Giovanni Pierluigi da Palestrina.

Un giochino parlando del tempo

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Facciamo un giochino.

Immaginiamo di avere un tappetino rotondo, diviso in due parti, una centrale e una periferica. Come un tirassegno. Se la parte centrale ha la stessa area di quella periferica, il tappetino funziona meglio per il nostro giochino, quindi immaginiamo che il tappetino abbia un diametro di 2 m e il cerchio interno un diametro di circa 1,4 m. Immaginiamo di costruire con del cartoncino una barriera tutto intorno. E ora prendiamo dei fagioli. Direi un numero pari, per semplicità. Li lanciamo sul tappeto in modo casuale.

Ad esempio, se ne prendiamo solo due, di fagioli, le possibilità sono che entrambi cadano nella parte centrale, entrambi nella parte periferica oppure uno nella parte centrale e uno nella parte periferica. Poiché il nostro tappetino è fatto come è fatto, possiamo anche predire che una volta su quattro i fagioli cadranno entrambi all’interno, una volta su quattro entrambi nella periferia e una volta su due avremo una situazione di un fagiolo nella parte interna e uno nella parte esterna, se li lanciamo in modo casuale (ammesso che sia possibile lanciarli in modo completamente casuale).

Ecco, il caso con due fagioli è meno interessante di quando i fagioli iniziano ad essere qualcuno in più. Quattro, otto, dieci o ancora di più.

La cosa che mi interessa è la differenza di fagioli tra l’interno e l’esterno.

Se ne buttiamo quattro, ad esempio, la probabilità che i fagioli siano nello stesso numero dentro e fuori è del 37,5%: sono sei le possibili sequenze di lanci che portano a questo risultato, mentre i casi totali sono sedici, e 6/16 dà appunto questa percentuale. Mentre la probabilità che vi sia una differenza di due fagioli (non importa se a favore dell’interno o dell’esterno) è invece del 50%. Il restante 12,5% è dato dal caso in cui la differenza sia di quattro fagioli (cioè, se tutti e quattro i fagioli cadono nella parte interna oppure tutti e quattro nella periferia, 4-0 oppure 0-4). La probabilità che la differenza tra interno ed esterno sia di un numero dispari di fagioli è ovviamente nulla, e altrettanto nulla è la probabilità che la differenza sia superiore al numero di fagioli lanciati.

Quindi:

  • differenza 0 ->  37,5%
  • differenza 2 ->  50,0%
  • differenza 4 ->  12,5%
  • differenza 6 ->   0,0%
  • differenza 8 ->   0,0%
  • differenza 10-> 0,0%

Se ne lanciamo dieci, di fagioli, la situazione sarà un po’ diversa:

  • differenza 0 ->  24,6%
  • differenza 2 ->  41,0%
  • differenza 4 ->  23,4%
  • differenza 6 ->    8,8%
  • differenza 8 ->    2,0%
  • differenza 10->   0,2%

 

Io ho fatto qualche calcolo anche intermedio, e ho fatto questo grafico.

plottino

Come si vede, via via che sale il numero di fagioli (confrontando cioè le curve di colore diverso) si notano alcune tendenze che non sono casuali, ma proseguono anche a numeri maggiori:

  1. la curva si “allarga”, diventano possibili differenze maggiori che lanciando meno fagioli erano impossibili (per la curva rossa già una differenza 6 è impossibile, per quella azzurrina una differenza 10 non è del tutto impossibile)
  2. la probabilità di differenza zero si abbassa
  3. il picco di probabilità avanza, cioè la differenza più probabile diventa sempre maggiore (per la curva rossa il picco è ben prima del quadratino che segnala la differenza 2, per quella azzurrina sembra essere proprio sul triangolino della differenza 2)
  4. la curva si appiattisce, cioè lo scarto tra una differenza più probabile e una meno probabile si fa meno grande.

Dovrei dire che le curve sono interpolazioni grafiche, che rappresentano il profilo di una distribuzione del tipo di Poisson, e tante altre cose più precise, ma finiamola qui. Per ora.

Qualche giorno fa ero al parco con la famiglia e ho incontrato un mio professore di fisica (all’università), che sorvegliava il nipotino. E abbiamo iniziato a parlare del tempo (atmosferico). Ebbene sì. L’ho provocato io, in realtà, perché conoscendolo sapevo che l’avrebbe fatto in modo non banale. E infatti la sua passione per l’ambiente, le energie rinnovabili sono emerse ancora una volta e abbiamo avuto una (vigile) e stimolante conversazione.

In particolare, si lamentava del fatto che “la gente” non capisca che un luglio freddo e piovoso come quello che abbiamo visto quest’anno sia assolutamente compatibile con il riscaldamento globale.

Ormai sembra assolutamente assodato il fatto che le emissioni serra che stiamo accumulando vadano a influenzare l’equilibrio tra la radiazione assorbita dall’atmosfera e quella dispersa dall’atmosfera, in modo da aumentare l’energia immagazzinata nell’atmosfera stessa. Usando il nostro modellino giocattolo, abbiamo sempre più fagioli sul tappeto.

Molti fenomeni meteorologici dipendono dalla differenza di energia che c’è tra due zone vicine (dal gradiente di energia, o di densità di energia). Dalla differenza di fagioli tra dove ci troviamo (all’interno) e nella nostra prima periferia. L’intensità dei fenomeni dipende da tale differenza. Certo, in modo molto più complesso, in cui le variabili in gioco sono molte di più, il sistema è incredibilmente più complicato e difficile da descrivere, eccetera eccetera. Ma a livello complessivo possiamo sicuramente dire che con l’aumentare dell’energia in atmosfera

  1. aumenta la gamma dei fenomeni possibili, perché aumenta il numero di stati possibili
  2. i fenomeni di bassa intensità diventano meno probabili, quelli di grande intensità più probabili, e questi ultimi, caratterizzati da una grande differenza di densità energetica in aree vicine, possono essere caratterizzati da squilibri in positivo (per noi) o in negativo: molto caldo o molto freddo, pressione molto alta o molto bassa… almeno in linea di principio;
  3. i fenomeni a cui eravamo abituati cambiano lentamente di intensità media, aumentandola
  4. e anche i rapporti di probabilità tra fenomeni già noti cambiano, rendendo tutto un po’ più mescolato e difficile da prevedere.

Morale: se è con un fisico, si può anche iniziare a parlare del tempo che fa, la conversazione può comunque risultare avvincente.

 

Sette minuti al mese

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Diciotto ore di lezioni in classe alla settimana.

Trentatré settimane durante l’anno scolastico.

Fanno 594 ore, a cui vanno sottratte le ore perse per i più vari motivi: malattie o permessi, uscite didattiche, progetti, simulazioni e via discorrendo.

Dividendo questo numero di ore per il numero di alunni si ottiene il tempo che il docente può dedicare, facendo solo quello, e quindi il tempo massimo possibile, a un rapporto uno-a-uno. Per me che ho 151 alunni, sono meno di quattro ore all’anno.

Vuol dire che se le mie lezioni si svolgessero sempre secondo lo stile “lezione privata”, con il resto della classe che lavora in modo autonomo e io mi concentro su un solo alunno, potrei dedicare al massimo poco meno di 4 ore all’anno a ciascun alunno.

Incidentalmente, è quel che succede durante le interrogazioni orali, ad esempio, in cui l’attenzione del docente è e dev’essere focalizzata sull’alunno da interrogare. Questo significa che se io dedicassi 4 ore durante il corso dell’anno a interrogare ogni alunno, che vuol dire 25 minuti al mese, non avrei tempo da dedicare a nient’altro. Niente verifiche scritte, niente spiegazioni, niente correzione dei compiti, niente appello, niente recupero, lavori per gruppi omogenei, laboratori, niente di niente.

Ribaltando la questione si capisce che sono cifre ridicole. Ad esempio: immaginiamo che il 75% del tempo in classe sia dedicata alla classe in genere e l’altro quarto ad interagire direttamente con un alunno: interrogazioni, sì, ma anche correzione delle verifiche, spiegazioni personalizzate, attività mirate, ascolto di dubbi e domande… Ogni mese potrei dedicare a questo meno di 7 minuti per ogni alunno.

Come dire, caro alunno: in classe, il prof per te ha 7 minuti ogni mese, tutto compreso. Vedi di giocarteli bene.

Come si fa a ribaltare queste cifre?

  1. Cambiando il modo di fare lezione: non è semplice, e in generale porta diversi effetti collaterali non sempre positivi. Ci si può provare, può essere risolutivo in alcuni casi, ma solo episodicamente.
  2. Aumentando il numero di ore in classe a parità di alunni: che vuol dire allungare il tempo scuola di alunni e insegnanti – impraticabile.
  3. Diminuendo il numero di alunni per classe. Richiede investimenti, più classi, più insegnanti, ma è l’unico modo strutturale per riuscire a far sì che gli insegnanti abbiano più tempo da dedicare a ciascuno dei loro alunni.

Pensiamoci.

Il quaranta di maggio

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In tanti mi chiedono com’era il tempo a Barcellona, essendone io appena tornato (una trasferta che ha richiesto molta preparazione e si è risolta in ore davanti a schermi di computer e di videoproiezione, qualche mangiata degna di menzione, relazioni amichevoli e nessuna forma di turismo, grazie anche ai buoni uffici di Alitalia che ha pensato bene di cancellarci il volo di ritorno e prenotarci su un aereo che partiva dodici ore prima del previsto).

Freddo e nuvoloso: nessuna novità rispetto al clima che ho lasciato a casa e che ho ritrovato.

Ma, esattamente come a casa, con la possibilità di godere di cieli spettacolari: non la profondità indistinguibile di uno sfondo uniformemente azzurro, non il soffitto vicino, quasi edile, di una coltre compatta, ma panorami sempre nuovi di sfumature di ogni colore, sempre in movimento grazie al vento freddo che anche al suolo rende vario da un momento all’altro l’abbigliamento di chi lo lascia libero di volare.

Questo per quanto riguarda il clima atmosferico. Per altri generi di clima, ciò che mi ha colpito, più dell’ultima volta a febbraio, è la quantità di cartelli “in affitto” o i prezzi degli immobili in vendita che gli sportelli bancari espongono in vetrina. Più che l’arrivo dell’estate, parlano di un inverno ancora in corso, pur nella zona più calda di Spagna.

Mi assicurano che la previdenza dei nonni insegna che

hasta el cuarenta de mayo no te quites el sayo

intendendo che fino alla metà di giugno è bene non disfarsi degli abiti pesanti. Una fredda primavera, per quanto a molti sgradita, non è una novità.

E, di nuovo parlando di ogni tipo di clima, forse è bene tornare a scoprire la saggezza di chi ne ha viste tante. Forse è bene ricordare che il mito della vita da spiaggia, per quanto goduto da tanti per lunghi anni, non garantisce per il futuro.

Che la spesa per bikini, paletta e secchiello, probabilmente, è bene affrontarla quando si sa che il cappotto non ha buchi.

E comunque dopo il quaranta di maggio.

Il Lillehammer azzurro

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Passeggiando verso la mia prossima destinazione, ieri sera mi sono infilato una mano in tasca. E mi sono trovato a pormi la fatidica domanda: “ma cosa ho in tasca?”.

Poi mi sono guardato intorno, non c’era proprio un’oscurità pazzesca, e non ho visto nessun paio di occhi sgranati, né alcuna voce che sibilava “che cos’ha in tasca, tessoro?”.

Non era un anello, in ogni caso.

Era un Lillehammer azzurro.

Dicesi Lillehammer azzurro un particolare aggeggio di plastica a scatto da usare per sigillare, più o meno, comuni sacchetti del tipo da freezer, senza annodarli e in modo reversibile. Si vendono in confezioni a dozzine di diversi colori e in due misure, lunghi e corti, nella zona “cucina” di una nota catena scandinava di arredamento abbigliamento giocattoli cosmetici detersivi pantofole salmone. Il nome Lillehammer è ovviamente inventato da me. Azzurro perché quello che avevo in tasca era casualmente di questo colore.

E ho pensato che a ogni fase della vita corrispondono preziosi diversi. Il tempo dell’anello del potere è passato: siamo ormai al tempo del pane surgelato.

Cosa volete, anche Bilbo, dopo un po’, è tornato a casa, con la sua parte di tesoro, per godersi di nuovo le sue torte, le sue birre, il suo buco.

D’altronde, ho anch’io ho portato a casa la mia parte di tesoro, e in più ho anche un paio di nani, o di elfi, devo ancora capirlo, che vivono con me.

Quindi, di cosa mi stupisco? Del mio Lillehammer azzurro? Ma figuriamoci…

Il penultimo giorno

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E così, dopo che mi sono immedesimato e commosso leggendo del silenzio di novembre, ieri il penultimo giorno di novembre mi ha regalato uno sprazzo di celeste.

I prati mi hanno salutato con la porporina, residui brillanti di piogge che hanno portato devastazioni e dolore; il cielo azzurro e terso, sebbene circondato da un muro grigio e impenetrabile allo sguardo, permetteva ai caldi raggi di sole di abbagliarmi sia che guardassi in alto che  a terra, verso lo specchio delle pozzanghere; come anziane signore che, in casa in un giorno luminoso, tolgono dai cassetti con nostalgia rossetto e vestiti sgargianti e li indossano per sé sole, gli alberi, consapevoli della fine dell’autunno, hanno fatto splendere orgogliosi il poco colore rimasto sui rami.

Anche nella penultima stagione, nel penultimo mese dell’anno, e c’è ancora un mese, e c’è ancora una dura stagione da affrontare, il penultimo suo giorno mi ha saputo stupire con uno squarcio e un attimo di luce, di calore, di colore. Niente di nuovo, nessuna nuova speranza, solo il benvenuto promemoria di un mondo più vasto e ampio delle mie abitudini.