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Il tempo elastico

Frescobaldi: il tempo elastico

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Clarke è seduto in ufficio, volge le spalle alla scrivania e guarda il Tamigi e la Tate Britain attraverso il filtro verde della vetrata.
Ha in mano una tazza di tè, che fa oscillare dolcemente e, di tanto in tanto, porta alla bocca.
Bussano alla porta; Clarke scatta, si volta, posa la tazza sul piattino e risponde.
Entra un uomo grasso, che saluta Clarke con un soprannome, avanza deciso verso un angolo della scrivania, sul quale va a sedersi.
È Stephson, della sezione Est Europa, entrato nei Servizi più o meno con Clarke: si conoscono bene, e si vede.
Clarke chiede come sta la famiglia, Stephson risponde goffamente con gesti e smorfie che dovrebbero essere rassicuranti.
Poi viene al dunque: pare che l’Ucraino sia in possesso della localizzazione di una risorsa sul campo e, per qualche motivo, stia cercando di farla uscire.
Risorsa? Di che tipo? chiede Clarke.
Un civile, italiano, bravino con i rompicapo, ha dato una mano al Doughnut ogni tanto; è uno a cui dobbiamo dare il tempo di sparire.
Vogliamo rimanere in contatto con lui o sparisce anche dai nostri radar? Chiede Clarke.
Clarkey, l’Ucraino la posizione l’ha avuta da qui dentro, risponde Stephson. Clarke ha capito, prende la cornetta, digita un interno.
Dolores? Come va il mercato oggi? Sì, per il momento uno, Hammersmith, l’ospedale, poi eventualmente Scotland Yard. Per i dettagli arriva Stephson. Immediato, grazie. Riaggancia.
Dovete dire al “vostro uomo all’Avana” di darsi alla macchia, dice Clarke.
Stephson si alza, ringrazia, e con passo impacciato se ne va.
Clarke prende la tazza tra le mani, è ancora calda; segna un appunto a matita sul foglio davanti a sé e poi gira di nuovo la sedia verso la vetrata smeraldina alle sue spalle, e riprende a gustare il tè e il panorama, pensando a un uomo in fuga, da qualche parte in Italia.

Un altro atto nel nostro percorso, il settimo. Questa volta la consegna era:

Scrivi un testo di quindici frasi su un tema che implica movimento — un viaggio, un inseguimento, un risveglio, una caduta. Il vincolo non riguarda il contenuto ma la velocità: stabilisci prima una sequenza di velocità per le tue frasi — per esempio lenta, lenta, veloce, veloce, veloce, lentissima, veloce, lenta, velocissima, ferma, lenta, veloce, lenta, lentissima, ferma — e rispettala senza deroghe. La velocità si ottiene con la lunghezza delle frasi, la densità delle parole, la presenza o assenza di punteggiatura. Obiettivo: sentire come la variazione controllata della velocità non sia ornamento ma struttura.

Questa struttura di controllo della velocità, se il metro della misura è costante, significa una struttura di controllo del tempo. Se la battuta contiene sempre la stessa quantità di musica, cambiare velocità significa cambiare il tempo in cui questa musica viene eseguita.

Colui che per primo si rende conto di questo e lo teorizza è Girolamo Frescobaldi (1583-1643). Nella prefazione al suo primo libro di toccate dice esplicitamente “al lettore”, che la sua musica “non deve stare soggetto a battuta”, ma deve adattarsi, come già avveniva nella prassi esecutiva dei madrigali dell’epoca, agli “affetti” o al “senso delle parole”. Il tempo non è più un metronomo che batte inesorabile, ma è quello che l’esecutore ritiene più adatto, frase per frase, per esprimere gli “affetti”.

Ci sarebbe tanto da dire su questi “affetti”. Non si parla qui delle emozioni del compositore, né di quelle dell’esecutore: per arrivare a questo genere di espressione ci vorranno ancora un paio di secoli. Gli affetti di cui, in questo periodo che si può già indicare come barocco, sono gli effetti interiori che autore ed esecutore intendono suscitare nell’ascoltatore. E che, più avanti in quel periodo, vengono codificati con particolari strutture musicali: per suscitare stupore è necessario che la musica abbia certe caratteristiche, per la malinconia altre.

Ecco, per ottenere questi effetti Frescobaldi ci dice che si può rallentare o accelerare il flusso della musica, tenere note in sospeso, precipitarne altre. La cinematica della musica acquista l’accelerazione e la decelerazione, e diventa varia.

Con qualche effetto di compensazione: se si accelera prima o poi sarà necessario rallentare, e viceversa, nell’ottica dell’equilibrio che già con la musica rinascimentale avevamo imparato ad apprezzare.

Questo post è un atto del percorso su Matematica e musica. Il post precedente riguarda Claudio Monteverdi, il successivo Jean-Baptiste Lully.

La matematica e la musica

La matematica della musica – una saga in costruzione

24 Repliche

Un viaggio personale sulla musica come struttura incarnata, come ricerca di matematica fisica.

Ogni scoperta di una nuova struttura musicale diventa un nuovo atto.

Non so quanti atti saranno, alla fine, se ci sarà una fine. Torna spesso: nuovi atti in arrivo.

─────────────────────────────────────────────────────────────── ATTO 1 — Tra cerchi e radici: matematica tra le note | 23 Aprile 2026

ATTO 2 — Hildegard, o della musica balistica | 26 Aprile 2026

ATTO 3 — Pérotin, o del tempo frazionato | 11 Maggio 2026

ATTO 4 — Palestrina, o l’armonia pacificante | 29 Maggio 2026

ATTO 5 — Allegri: lo spazio come strumento | 24 Giugno 2026

ATTO 6 — Monteverdi: il basso che guida | 26 Giugno 2026

ATTO 7 — Frescobaldi: il tempo elastico | 27 Giugno 2026

ATTO 8 — Lully: il basso del potere | 28 Giugno 2026

ATTO 9 — Couperin, o la struttura sbriciolata | 29 Giugno 2026

ATTO 10 — Rameau, o la musica che descrive | 30 Giugno 2026

ATTO 11 — Rameau (2), o la spinta dell’esotico | 1 luglio 2026

ATTO 12 — Cosa combina Vivaldi | 7 luglio 2026

ATTO 13 — Vivaldi (2) e la texture sonora | 8 luglio 2026

ATTO 14 — I numeri di Telemann | 9 luglio 2026

ATTO 15 — Bach, o dello stretto indispensabile | 13 luglio 2026

ATTO 16 — Bach (2), o di mani, voci, idee e temi | 15 luglio 2026

ATTO 17 — Specchi e crostacei in fuga, e il nome di Bach (3) | 16 luglio 2026

ATTO 18 — Händel e la sua cassetta degli attrezzi | 18 luglio 2026

ATTO 19 — Handel (2), o del ritmo di sua maestà | 20 luglio 2026

ATTO 20 — Handel (3) e le fughe di massa | 21 luglio 2026

ATTO 21 — Haydn, o della regola e dello scarto | 22 luglio 2026

ATTO 22 — Haydn (2), l’orologiaio della forma | 24 luglio 2026

ATTO 23 — Mozart e i suoi padri | 26 luglio 2026

ATTO 24 — Mozart (2) e la sezione aurea | 30 luglio 2026

ATTO 25 — Mozart (3) e il finale dei finali | 3 agosto 2026

ATTO 26 — Mozart (4) danza, si prende in giro (e poi ci manda all’inferno) | 6 agosto 2026

ATTO 27 — Beethoven, o delle Nove e del frammento infinito | 10 agosto 2026

ATTO 28 — Beethoven (2) e il dialogo anelastico | 13 agosto 2026

ATTO 29 — Beethoven (3) e l’esito delle variazioni | 17 agosto 2026

ATTO 30 — Chopin, o del tempo in libertà vigilata | 20 agosto 2026

ATTO 31 — Chopin (2) e il dialogo irreversibile | 24 agosto 2026

ATTO 32 — Chopin (3) e lo sviluppo che implode | 27 agosto 2026

ATTO 33 — Brahms e l’incrocio dei ritmi | 31 agosto 2026

ATTO 34 — Brahms (2) e la catena delle terze | 3 settembre 2026

ATTO 35 — Brahms (3) e la prigione circolare | 7 settembre 2026

ATTO 36 — Saint-Saëns, o del colore brillante della resistenza | 10 settembre 2026

ATTO 37 — Dvořák, o degli irriducibili | 14 settembre 2026

ATTO 38 — Wagner, o dei riferimenti vivi | 17 settembre 2026

ATTO 39 — Bruckner, o delle cattedrali sonore | 21 settembre 2026

ATTO 40 — Mahler, o dei temi in cerca di polifonia | 24 settembre 2026

ATTO 41 — Sibelius, o la strategia della tensione | 28 settembre 2026

ATTO 42 — Sibelius (2), o della foresta frattale | 1 ottobre 2026

ATTO 43 — Čajkovskij, o del divino di sfuggita | 5 ottobre 2026

ATTO 44 — Glinka, o delle scale sdrucciolevoli | 8 ottobre 2026

ATTO 45 — Rimskij-Korsakov, o delle magie musicali | 12 ottobre 2026

ATTO 46 — Rachmaninov, o di quando Caronte rema | 15 ottobre 2026

ATTO 47 — Rachmaninov (2), o dell’importanza di arrivare | 19 ottobre 2026

ATTO 48 — Fauré, o della promessa presa sul serio | 22 ottobre 2026

ATTO 49 — Debussy, o dell’importanza di non andare da nessuna parte | 26 ottobre 2026

ATTO 50 — Ravel, o del prezzo della reticenza | 29 ottobre 2026

ATTO 51 — Ravel (2), o di quando lo studio eclissa i dipinti | 2 novembre 2026

─────────────────────────────────────────────────────────────── Ogni atto è indipendente, ma insieme raccontano un pezzo di storia e di incarnazione matematica nel mondo musicale.

O vis aeternitatis

Hildegard, o della musica balistica

4 Repliche

Suono di cimbali tra le capanne

nel vento; tintinnando lo sospinge

su, all’eremo, alto sulla valle.

Tamburi tuonano nella vallata,

attraversando l’eremo raccolto

nei vespri ruba il vento canti e torna.

Su all’eremo l’eco giunge; canta

salmi il coro dei monaci; folate

benedicenti la sagra e il villaggio.

Non sono diventato pazzo, è solo un esercizio. Dicevo qui che sono partito per un (lungo) viaggio a caccia di matematica nella musica. Ecco, non c’è solo la matematica delle radici e dei calcoli. Ho incontrato, soprattutto, la matematica delle strutture. Sequenze, ripetizioni, blocchi, trasformazioni, simmetrie: questa è la forma di matematica che è più facile incontrare nella musica che ho ascoltato. Una matematica che spesso si rende facilmente visibile come geometria sugli spartiti, oltre che udibile a un primo ascolto. Altre volte richiede uno sguardo d’insieme in grado di percepire quali sono i mattoni usati per la composizione. Ed ecco il motivo di questo esercizio, che cerca di riproporre sulla nostra lingua naturale geometrie simili a quelle che caratterizzano un particolare brano: O vis aeternitatis, di Ildegarda di Bingen (1098-1179).

Torno all’esercizio. La consegna era: scrivi un verso con un certo numero di sillabe (una terzina di endecasillabi ne ha circa trentatré) che mostri un arco ascendente e poi discendente. La frase deve avere un punto di partenza in basso, un apice preciso e una discesa finale allo stesso livello della partenza. Poi riscrivi lo stesso verso, spostando ogni volta l’apice. Nel mio caso, l’apice (l’eremo) è comparso per la prima volta in fondo alla prima terzina, e a ogni riscrittura è arretrato: nel secondo verso e poi nel primo. Il vincolo sillabico impone di cambiare qualcosa, spostando l’apice: il peso e il significato del verso non è lo stesso. Anticipando il punto intermedio, c’è sempre meno spazio per l’andata e sempre più per il ritorno.

(Non è semplicissimo, ma perché non provi anche tu? La consegna è qui sopra… Può essere divertente e certamente aiuta molto a capire).

E’ quello che succede, facendo i dovuti paralleli, nella monodia medievale di Hildegard.

I dovuti paralleli: non è il numero di sillabe a costituire il vincolo, ma il testo della preghiera, a cui la monodia si adatta. Inoltre, non c’è un solo arco ascendente-discendente, ma vi è un andamento alternato centrato su una nota base, a cui sempre si ritorna, alla fine di ogni frase; e in mezzo, cellule di note combinate in modo modulare portano ad apici anche molto distanti dalla nota base, quando si parla della forza dell’eternità.

Hildegard usa un ambitus, cioè un’estensione, ampia per l’epoca: anche due ottave. Questo significa che la sua linea non è “piatta”, ma ha valli e creste con salti di quinta che danno luogo a “pendenze” più accentuate rispetto al gregoriano standard.

Non c’è accompagnamento, non c’è basso, non c’è ritmo scandito da una misura fissa: il tempo è quello della parola, del respiro, della frase. Hildegard scrive per una voce sola in uno spazio acustico preciso — la pietra di una chiesa o di un’abbazia, con la sua risonanza naturale. Il silenzio non è assenza: è la materia in cui la linea melodica si estende e risuona. La matematica è quella degli intervalli: la quinta e l’ottava come consonanze pure, il salto come tensione, il grado congiunto come distensione. Ogni frase melodica è un arco — una traiettoria che parte, si alza, tocca il punto più alto e torna. Non c’è sviluppo, non c’è dialettica: c’è la forma dell’arco, ripetuta e variata, come una proporzione che si afferma e si conferma.

Gli spunti matematici sono diversi: dalla balistica (le traiettorie ad arco: ovviamente gli archi di Hildegard non potevano informarsi alle costruzioni delle parabole che caratterizzano il moto dei proiettili, ma la forma che assumono è riconducibile in senso metaforico e strutturale ad esse), alla combinatoria (come combinare cellule e salti per ottenere traiettorie sempre più ardite; anche in questo caso è uno spunto per analogia, perché Hildegard non esplora tutte le possibilità date dalla situazione/nota di partenza per lanciare la sua preghiera sempre più lontano; e tuttavia l’operazione di combinare cellule neumatiche in modo diverso è essenzialmente combinatoria).

Ed è molto bello vedere che già mille anni fa chi scriveva musica, per fortuna ma non solo per fortuna destinata a sopravvivere fino ad oggi, consapevolmente e deliberatamente adottasse una poetica in cui la struttura, la progettazione, l’uso della razionalità, e una buona dose di artigianato, affiancavano il talento e il genio.

Questo post fa parte della serie La matematica della musica; l’atto precedente riguarda i numeri coinvolti nella musica, mentre il successivo parla di Perotino il grande.

matematica tra le note

Tra cerchi e radici: matematica tra le note

5 Repliche

Da diverso tempo volevo scrivere qualcosa sui legami tra matematica e musica, da esperto della prima con qualche rudimento della seconda. L’occasione mi è offerta da un lavoro che ho svolto per testare le capacità di diverse piattaforme IA. Questo è diventato il primo di una serie di post che ho raccolto in questa pagina.

Mi sono reso conto che non c’è inizio migliore che parlare delle note. Do, Re, Mi… quelle.

Gli scrittori antichi che ci tramandano notizie sui cosiddetti pitagorici raccontano storie di corde. Ossia della scoperta che l’armonia dei suoni si ottiene suddividendo corde secondo numeri interi e rapporti semplici (a metà, a due terzi, a tre quarti…). Pare che questo abbia avuto una rilevanza notevole nella formulazione della teoria pitagorica del tutto è numero.

Una corda come unità di misura

Immaginiamo uno strumento con una corda lunga “1” (metro? piede? non importa: è la corda lunga 1, l’unità di misura). Quando la “suoniamo” otteniamo una certa nota (diciamo un Do). Se blocchiamo la corda a metà e la suoniamo otterremo un altro Do, solo più acuto (un’ottava sopra). Stoppando la corda a \frac{2}{3} della lunghezza otterremo un Sol (una quinta sopra la nota di partenza). Bloccandola a \frac{3}{4} un Fa (una quarta sopra la nota di partenza).

Il Do alto è una quarta sopra il Sol, che, a sua volta, è una quinta sopra il Do basso. Se prendo la corda lunga \frac{2}{3} (Sol) e la stoppo ai suoi \frac{3}{4} (una quarta sopra), avrò stoppato la corda di partenza ai suoi \frac{2}{3}\times\frac{3}{4}=\frac{2}{4}, ossia a metà. Il Do alto, appunto.

Questi “quarta” e “quinta” vengono da un modo bizzarro di contare i gradi della scala, che conta pure gli estremi: Do, Re, Mi, Fa: sono quattro, una quarta.

In realtà, facendo qualche calcolo, a chi ha studiato queste cose è venuto in mente che di gradi ne usiamo un po’ di più. Perché, ad esempio, tra Fa e Sol si può immaginare una nota intermedia. In realtà se ne possono immaginare infinite, di note intermedie. La nostra musica occidentale ne mette due, o una sola.

L’uso occidentale è quello di dividere l’ottava in dodici semitoni, e una scala (anche qui ci sarebbe tanta matematica: di scale ce ne sono di tanti tipi diversi, a seconda dell’assortimento di toni e semitoni) ne usa solamente alcuni, tipicamente sette più l’ottavo che è come il primo, solo un po’ più su.

Calcoliamo le lunghezze?

Bellissimo, vero? Tutte le note spiegate in termini di frazioni semplici… un modo meraviglioso per vedere la matematica all’interno dell’armonia, o l’armonia all’interno della matematica, come preferite. Ma una matematica semplice: quella delle frazioni!

Procediamo di quinta in quinta salendo, moltiplicando ogni volta per \frac{2}{3} la lunghezza della corda precedente (nel grafico, numeri in rosso). Inoltre, moltiplichiamo per 2 quando la corda si fa troppo corta e il suono diventa più acuto del Do alto che prendiamo come limite superiore. Contemporaneamente, procediamo per quinte discendenti, moltiplicando ogni volta per \frac{3}{2} (nel grafico, numeri in viola), e, nel caso otteniamo un numero maggiore di 1, dimezziamo salendo di un’ottava.

Le righe colorate vanno lette in sequenza dall’alto verso il basso. La sequenza rossa di quinte ascendenti parte dal Do basso, raggiunge il Sol, poi il Re (alto, che viene abbassato raddoppiando) etc. La sequenza viola di quinte discendenti parte dal Do alto, raggiunge il Fa, quindi il Si bemolle (sotto il Do basso, che viene alzato dimezzando) etc. Nell’ultima riga, in nero un valore approssimato ai centesimi della lunghezza della corda, se la corda di Do basso è lunga esattamente 1: come si vede Fa# e Sol bemolle non sono esattamente identici, in questa costruzione.

Così dovremmo raggiungere tutte le note, almeno le 12 note che vediamo in una tastiera del pianoforte. La sequenza rossa dovrebbe essere questa. Do – Sol – Re (abbassiamo) – La – Mi (abbassiamo) – Si – Fa# (abbassiamo). Quella viola: Do (alto) – Fa – Sib (alziamo) – Mib – Lab (alziamo) – Reb – Solb (alziamo). A questo punto dovremmo chiudere il cerchio, se Fa# e Sib sono la stessa nota, come siamo abituati a pensare.

Il problema

Iniziate a vedere il problema? Ogni salto di quinta verso l’alto si ottiene moltiplicando il numeratore per 2 (o per 4, se contemporaneamente scendiamo di un’ottava) e il denominatore per 3. Ogni salto di quinta verso il basso, invece, si ottiene moltiplicando il numeratore per 3 e il denominatore per 2 (o per 4, se contemporaneamente saliamo di un’ottava). Alla fine, il Fa# dovrà avere a denominatore una potenza di 3, mentre il Solb una potenza di 2. Non c’è modo che due frazioni fatte così possano essere uguali.

Il cerchio non si chiude. E’ un problema? Non lo è per quegli strumenti in cui l’intonazione è decisa dall’orecchio del musicista: la nota la prende dove gli serve su una tastiera senza tasti (come quella di un violino) che gli permette di scegliere in una continuità di lunghezze possibili. Ma in uno strumento che ha una corda per ogni nota, è necessario sapere esattamente se la corda è lunga come un Mi# o come un Fa, se con una lunghezza di 0,74 o di 0,75, perché questa è la differenza.

Ecco che la scoperta dei cosiddetti pitagorici (quella dei rapporti semplici secondo numeri interi) funziona molto bene localmente, vicino alla nota centrale usata come riferimento, ma via via diventa complicata e approssimativa allontanandosi da questa.

L’alternativa

C’è un’alternativa. E richiede la rinuncia ai numeri razionali: ognuna delle 12 note successive al Do che ha una corda lunga “1”, ha una lunghezza di \frac{1}{\sqrt[12]{2^n}}: ad esempio la corda del Fa è lunga \frac{1}{\sqrt[12]{2^5}}\approx 0,749, molto vicino a 0,75 del Fa pitagorico; oppure quella del sol è \frac{1}{\sqrt[12]{2^7}}\approx 0,667, anche questo molto vicino ai \frac{2}{3} del Sol pitagorico.

Questa dei numeri irrazionali è una strada che mai i pitagorici avrebbero potuto intraprendere. Ci sono almeno due versioni diverse sulla brutta fine che capitò al pitagorico Ippaso di Metaponto, colpevole di aver scoperto l’incommensurabilità della diagonale e del lato del quadrato, ossia di aver dimostrato che esistono rapporti non esprimibili come frazioni (irrazionali). E infatti è l’aristotelico Aristosseno di Taranto, a suggerire l’idea, poi sviluppata tra il 1500 e il 1800, del temperamento equabile, che prende piede in modo ampio solo nel 1900 (dell’era cristiana). In mezzo, sia in senso temporale che di sfumatura, diversi tentativi di “buoni temperamenti”, cioè di sistemazioni delle note in modo da avere 12 semitoni in un’ottava, anche se con rapporti non tutti identici, ma che consentono, comunque, di suonare in tutte le tonalità (cosa impossibile nel pitagorico), spesso donando a ciascuna di esse una particolare coloritura (cosa che non avviene nell’equabile).

lunghezze delle corde nel temperamento equabile
Lunghezze delle corde secondo il temperamento equabile. Nell’ultima colonna i valori approssimati al centesimo. Come si vede le differenze sono piccole, talvolta sembrano non esserci. Tuttavia i valori di questa figura sono irrazionali, a differenza di quelli della figura precedente.

Questione d’orecchio

Non si tratta di questioni di lana caprina. Né dal punto di vista matematico, né da quello musicale.

Dal secondo, il cosiddetto comma pitagorico, cioè la differenza tra i punti di arrivo della costruzione del cerchio delle quinte secondo il temperamento pitagorico, è di quasi un quarto di tono, perfettamente all’interno delle capacità risolutive dell’orecchio umano. Questo agli estremi: per le posizioni intermedie comunque chi suona dice che la differenza tra i vari temperamenti si sente.

Effettivamente ci sono dei fenomeni fisici che in certe condizioni si verificano se le frequenze delle note non sono perfettamente multiple, i battimenti. Ad esempio, in questo video si può apprezzare, prestando attenzione e ascoltando più volte, le diverse vibrazioni prodotti da intervalli temperati in modo diverso. Gli intervalli di quinta, o di terza più o meno stretti caratteristici di questo o quel temperamento significano esperienze auditive diverse, una diversa resa dell’interazione tra strumenti e timbri diversi, una diversa fedeltà a ciò che coloro che quella musica l’hanno scritta o ascoltata per la prima volta hanno sentito davvero, visto che c’è una storia dietro ai diversi temperamenti.

Dal primo punto di vista, è un esempio abbastanza lampante delle diverse caratteristiche di numeri razionali e irrazionali, del loro emergere nella vita quotidiana, del fatto che, indipendentemente da come consideriamo i numeri, se li vediamo cioè come proprietà realmente presenti nel mondo che ci circonda, o come, invece, utili strumenti che la mente usa per rappresentare quello stesso mondo, essi ci interpellano anche in uno dei campi apparentemente più lontani dal rigore che solitamente riguarda la matematica, e lo fanno mettendosi i panni di veri e propri guastafeste, che ci impongono di scegliere cosa vogliamo salvare e in che misura: la simmetria di una struttura equa e ben misurata, e irrazionale, o la gradevolezza di un sistema perfettamente armonico, ma non dappertutto.

Questo post fa parte della serie La matematica della musica. Il prossimo post della serie riguarda Hildegard di Bingen.

Dieci idee scientifiche… più una (2)

1 Replica

Come nel precedente post di questa serie, faccio riferimento a questo articolo, che riporta le opinioni di alcuni scienziati sulle idee scientifiche che più di altre vengono travisate nel linguaggio comune o nel discorso dei “non iniziati”.

Teoria.

“E’ solo una teoria”, dice lo scienziato citato, come esempio di errata comprensione della profondità del concetto di teoria.

C’è qualcosa che gli scienziati in genere dovrebbero comprendere meglio. Abituati a dare un significato il più univoco possibile ai termini che usano nel loro mestiere, perdono di vista (o tendono a perdere di vista) la ricchezza del linguaggio comune. Per cui “teoria”, per loro, dovrebbe significare unicamente quello che, più precisamente, dovrebbero meglio specificare con un aggettivo: teoria scientifica.

Detto questo, parlare di “teoria scientifica” significa parlare di qualcosa che effettivamente è molto più che “solo una teoria”. Ma su questo rimando all’articolo già citato, perché è molto chiaro.

Una teoria scientifica ha dietro una mole di risultati sperimentali, e ha davanti la possibilità di verifica (o di falsificazione, per dirla con Popper) sempre per via sperimentale. Una teoria scientifica, quindi, è quanto di più articolato e di meglio fondato la scienza possa proporre per interpretare un certo ambito naturale. E spesso porta con sé anche una quantità di applicazioni tecnologiche che la giustificano almeno sul piano pratico.

Un esempio che può essere familiare a tanti è quello della teoria dell’elettromagnetismo di Maxwell. Basata su decenni di esperimenti, tra cui bisogna citare la sterminata letteratura prodotta da Faraday nel corso della prima parte dell’Ottocento, questa teoria vide la luce negli anni sessanta dell’Ottocento, come costruzione matematizzata e unificata in grado di spiegare tutto ciò che era noto riguardo l’elettricità e il magnetismo. Una previsione che emergeva da tale teoria era l’esistenza di onde elettromagnetiche, “oggetti” fisici mai fino ad allora evidenziati, e che solo negli anni ottanta dello stesso secolo vennero effettivamente scoperte e prodotte in laboratorio da Heinrich Hertz. Era una teoria elegante, unificante, in grado di proporre previsioni poi effettivamente verificate. Era una teoria completa? No. Ci volle il contributo di Einstein (di cui parlavo anche qui), nel 1905, per chiudere il cerchio e mostrare come effettivamente le grandezze che compaiono nelle equazioni di Maxwell sono in effetti due facce diverse di una stessa medaglia.

Si trovano su internet (immagino anche nel mondo reale, anche se probabilmente amano parlare più di altri argomenti, con la stessa protervia intellettuale di chi non capisce ma pretende di pontificare) coloro che paragonano la scienza a una religione, perché basata su assunzioni, dicono, che non hanno nulla di diverso da una fede cieca. Rilevo solo en passant che la fede religiosa non è necessariamente cieca e può tranquillamente non essere priva di razionalità. Ma soprattutto, ciò che mi interessa qui, sottolineo che questo modo di ragionare significa non aver compreso, appunto, la complessità e il rigore che il percorso che porta alla formulazione di una teoria scientifica comporta. Basterebbe leggere qualche opera classica della filosofia e della storia della scienza (un esempio: “La struttura delle rivoluzioni scientifiche” di Thomas Kuhn) per rendersi conto anche del dibattito filosofico che riguarda questi argomenti. Non c’è, ad oggi, un modo più sicuro e più dibattuto, esaminato e verificato di accumulare conoscenza di quello scientifico. E la teoria scientifica, che rappresenta il fine della ricerca scientifica, è, in questo percorso di indagine, il vertice.

C’è un’espressione del linguaggio comune, che dà in qualche modo conto di questa realtà. Quando qualcuno chiede: “ma non dovrebbero stare così le cose?” e si risponde “in teoria sì”. Sottinteso: poi in pratica le cose stanno in modo diverso. Capita: capita che la “teoria” preveda qualcosa ma che poi il dato sperimentale sia differente. Capita quando si cerca di applicare una teoria a un ambito che non le compete, oppure (che è cosa molto simile) quando la teoria non è così completa, così affinata, così ben stabilita che si trovano fenomeno che la mettono in discussione. E questo non mette in crisi il concetto di teoria, non più di quanto non metta in crisi l’idea di conoscenza che vi sta dietro. Non sappiamo tutto. Anche una teoria scientifica, per quanto elegante, complessa, fondata, non può pretendere di spiegare tutto. Ma proprio i casi che mettono in luce un’inadeguatezza della teoria sono quelli che possono portare a un ampliamento, un approfondimento, una riscrittura o addirittura a un superamento della teoria stessa. Non è un limite del procedere scientifico: è un limite delle possibilità umane di conoscenza.

Perciò una teoria scientifica non è “solo una teoria”. E’, per quanto mi riguarda, uno degli strumenti concettuali più potenti, dinamici e in evoluzione che abbiamo per leggere la natura di cui facciamo parte. Ridurla a “solo una teoria” significa perdere punti di riferimento, per quanto parziali e transienti, affermare che poiché non sappiamo tutto, in realtà non sappiamo niente, lasciare il campo libero a chi vorrebbe convincere solo con il tono o il volume della voce, alla cecità dell’ignoranza.

Dieci idee scientifiche… più una (1)

1 Replica

Mi è stato segnalato questo post, che riporta le opinioni di alcuni scienziati sulle idee scientifiche che più di altre vengono travisate nel linguaggio comune o nel discorso dei “non iniziati”.

Lo lascio alla vostra lettura, ma aggiungo qualche chiosa, perché… perché non siamo tutti uguali, e alle stesse questioni talvolta io avrei risposto in modo diverso. Come diceva figaro… uno alla volta.

Dimostrazione.

Intanto, qui c’è un problema di traduzione. “Proof” in inglese è legato al verbo “to prove”, che noi tradurremmo comunemente come provare, dare prove, ma significa invece “dimostrare”, almeno in ambito scientifico; tuttavia c’è anche la parola “demonstration”, che però ha in sé più il senso dell’esibire che del dimostrare.

In ogni caso, quello che lo scienziato citato non dice è che ci sono due tipi diversi di scienza: un tipo è la scienza deduttiva (la matematica in tutte le sue forme, almeno per come si è venuta configurando negli ultimi secoli), e un altro è costituito dalle scienze sperimentali (quelle che cercano di spiegare come funzionano sezioni della natura, di descriverne le leggi e le funzioni).

Proprio il termine “dimostrazione” ha significati diversi in questi due ambiti diversi.

Nelle scienze deduttive, che partono cioè da assunti specifici e da regole logiche comunemente accettate per poi ricavare (dedurre) una serie di risultati, proprietà, caratteristiche (di oggetti idealizzati, appunto perché il punto di partenza sono assunzioni di carattere logico-linguistico), la dimostrazione è il processo logico che conduce da qualcosa di già dimostrato, o da ciò che viene assunto come base, a un nuovo elemento di conoscenza. La bontà della dimostrazione si basa sul fatto che utilizzi correttamente le conoscenze già note senza supporre arbitrariamente e surrettiziamente qualcosa di non appartenente alla cassetta degli attrezzi leciti, e sul fatto che le regole della logica (della logica scelta, non ce n’è una sola possibile) non siano violate. Se la dimostrazione viene considerata fondata (da chi? dai criticoni che la leggono e la smontano pezzo per pezzo alla ricerca di qualche baco), il risultato della dimostrazione è dato per assodato, entra a far parte del novero delle conoscenze acquisite in quel particolare argomento. Può capitare che nel corso dei secoli si scopra che c’è una falla nell’argomentazione, ma in questo caso di solito si è in grado di proporre una dimostrazione alternativa che sani il problema.

Nelle scienze sperimentali, invece, di dimostrazione raramente si può parlare, se non all’interno di una teoria matematizzata, per cui valgono all’incirca le considerazioni precedenti, salvo il fatto che in una tale teoria le basi di partenza non sono assunzioni logiche ma si basano su dati sperimentali, e che ogni risultato deve essere validato alla luce di altri dati sperimentali. L’obiettivo delle scienze sperimentali non è “dimostrare”, ma “spiegare” come funziona qualcosa, in modo sempre più dettagliato e al meglio delle nostre conoscenze. E’ il dato sperimentale che “si mostra” da sé. E per questo lo scienziato citato dice che la scienza (sperimentale) non dimostra nulla.

Quindi: dimostrami il teorema di Pitagora si può dire, e se si accettano le assunzioni di base (i postulati della geometria euclidea, la definizione di triangolo, di area, di equivalenza eccetera) e le regole della logica classica, la dimostrazione permette di affermare con certezza che in ogni triangolo rettangolo il quadrato costruito sull’ipotenusa è equivalente alla somma dei quadrati costruiti sui cateti.

Invece: dimostrami che l’acqua evapora ha un altro significato e sarebbe meglio dire “mostrami” che l’acqua evapora, per la qual cosa basta lasciare un piattino bagnato sul tavolo per qualche ora. Oppure “spiegami” perché l’acqua evapora, il che comporta che vi sia una teoria (di cui parlerò in un prossimo post) in grado di dar ragione del fatto che l’acqua lasciata sul piattino dopo un po’ scompare. Oppure ancora e soprattutto, all’interno di una teoria, “dimostrami che l’acqua evapora” può significare: fammi vedere che questa congerie di equazioni e ipotesi tratte da dati sperimentali, che tu ha elaborato in “teoria”, cioè un tentativo di spiegazione di tante cose, è davvero all’altezza della realtà ed è in grado di spiegare quello che vediamo tutti i giorni lasciando l’acqua sul piattino: ossia, fammi vedere dove, nella tua rappresentazione del mondo, entra questo piccolo dettaglio che del mondo che cerchi di spiegare fa parte.

Questa differenza ovviamente non vuol dire che le scienze sperimentali valgano meno. E’ solo che il concetto di “dimostrazione” non ha molto senso al di fuori dell’ambito matematico: le scienze sperimentali hanno altri strumenti per accumulare conoscenza.

Un primo augurio… matematico

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Da anni ormai sono iscritto alla newsletter di Rudi Mathematici, che ogni mese propone giochi, curiosità, quesiti e amenità varie (compreso un bel calendario) a base di matematica, come si può supporre dal nome.

Ecco, nel numero natalizio, ho trovato una riflessione che ritengo interessante e che vi propongo qui, virgolettata per rispettarne la paternità (direi due terzi di paternità e un terzo di maternità, vista la composizione del gruppo editoriale che cura la rivista online).

Parlando del visitatore in un reparto di maternità di un ospedale, dice,

(…) lo spettatore non poteva non ricordare la facile progressione: un bimbo, due genitori, quattro nonni, otto bisnonni, sedici trisavoli, eccetera. Infilandoci la variabile tempo, valutata nell’arbitrario (ma ragionevole) parametro di 25 anni a generazione, la progressione diventava: un bimbo (0 anni), due genitori (25), quattro nonni (50), otto bisnonni (75), sedici trisavoli (100), e così via. E non ci vuole niente, specie se si ha disposizione un foglio elettronico, a continuare. Solo che continuare mostra subito che c’è di sicuro qualcosa di strano, senza bisogno di risalire per tutto il milione di anni di età dell’Homo Sapiens, perfino senza arrivare alle poche migliaia di anni che separano la nostra storia dalle preistoria. Tanto vale fermarsi a 2000 anni fa, visto che la tradizione festeggia la nascita di un celebre bambino avvenuta più o meno in quel periodo. E allora il conto ci porta venti secoli indietro, ad appena 80 delle generazioni standard da 25 anni che abbiamo ipotizzato. Probabilmente sono molte di più, nei tempi andati si diventava genitori prima. Ebbene, la bimba che vagiva nel nido della nursery, secondo questa proliferazione geometrica, registra, intorno all’(inesistente) Anno Zero della nostra era, più di 10^{24} antenati. Dieci alla ventiquattresima, ovvero 1.000.000.000.000.000.000.000.000, ovvero un milione di miliardi di miliardi. Molti, molti, molti di più di tutti gli esseri umani mai vissuti.

Risultato impossibile, ci deve per forza essere qualcosa che non va nei presupposti. Nelle ipotesi, diremmo su RM. E infatti c’è davvero: l’errore più evidente sta nel presupporre tutti gli antenati (nel vero e proprio senso etimologico di “ante nati”, nati prima) come persone distinte l’una dall’altra. Non è affatto così, ci mancherebbe; ma il risultato è così spaventosamente grande che anche con questa correzione il significato ultimo non cambia poi molto: e poi il fatto che gli antenati non siano tutti diversi non fa altro che rafforzarlo, il significato ultimo. Perché basta questo facilissimo calcolo a dimostrare che ogni singolo bambino che nasce è, letteralmente, il riassunto vivente di tutta l’umanità precedente. Ogni persona vissuta è riepilogata nella carne di un nuovo nato.

Basta un giochino di dieci secondi coi numeri, per accorgersi che dire che siamo tutti fratelli è tutt’altro che un’esagerazione. È anzi probabilmente riduttivo: siamo più che tutti fratelli, siamo tutti la stessa persona.

E se il messaggio tradizionale, mistico, religioso, dice più o meno la stessa cosa, beh, tanto meglio.

Sarebbe bello se i numeri avessero la forza convincente che meritano. Perché è vero che anche i fratelli litigano, e che capita addirittura di essere in conflitto con se stessi. Ma è difficile negare a un parente, a un fratello (o a sé) la dignità che si concede a se stessi.

Un mio primo augurio per questo Natale, a me stesso prima di tutto, è la convinzione che l’umanità è molto più che un concetto. Che ogni volta che ci troviamo di fronte un estraneo, un diverso, qualcuno terribilmente distante dal nostro quotidiano, possiamo sentire la forza dei numeri, il suono dei geni, e vedere i nostri stessi lineamenti nel volto altrui. Ci risparmieremmo tante, ma tante idiozie che facciamo, diciamo, pensiamo.

Auguri.

Il valico

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Tutta la conoscenza umana inizia con l’intuizione, prosegue con i concetti e termina con le idee.

Questo è il brano, citato dalla “Critica della ragion pura”, che introduce i “Fondamenti della geometria” di David Hilbert.

Nato il 23 gennaio 1862, Hilbert è ricordato nella storia della matematica come uno dei giganti, una delle cui ciclopiche imprese fu appunto la riscrittura della geometria, una sorta di rilettura di Euclide alla luce di oltre duemila anni di progressi.

Chi prova oggi a leggere il primo libro degli “Elementi” di Euclide, trova una sistemazione della geometria un po’ diversa da quella che si studia oggi nelle scuole. Che si deve appunto ai “Grundlagen der Geometrie” del 1899, a Hilbert.

La cosa curiosa… un attimo. Prima è bene chiarire cosa fa Hilbert nei “Fondamenti”.

Dice: un “insieme” non spiego cos’è; è un concetto primitivo che non posso definire. Ugualmente “punto”, “retta”, “piano”, “appartenere”, “tra”, “congruente”, “distinti”, “individuare” e pochi altri, sono termini che non specifico se non come relazioni: ad esempio, due punti distinti individuano sempre una retta; oppure se A, B e C sono punti che appartengono a una retta, e C è tra A e B, allora C è anche tra B e A.

Capito? Cosa vuol dire “appartenere”? Togliti dalla mente quel che la tua esperienza ti porta a immaginare. “Appartenere”, nei Grundlagen, vuol dire qualcosa che è determinato unicamente dalle frasi (assiomi) che contengono tale parola. Tutte le caratteristiche non definite, direttamente o in termini di relazioni tra termini primitivi, vanno dimenticate.

I punti non sono più quelli della geometria euclidea, che erano di origine concreta, come il segno lasciato da una puntura di stilo su una tavoletta cerata. Sono ora invece gli oggetti astratti unicamente definiti dagli assiomi che li riguardano. L’uso dei termini “punto”, “retta”, “piano” eccetera è preservato per mantenere l’idea che si tratti comunque di geometria; ma Hilbert stesso era consapevole del fatto che quelle stesse parole non significavano più la stessa cosa che volevano dire prima di lui. Erano diventati concetti astratti, tanto che lui stesso, in una citazione famosa, richiedeva che quelle stesse parole potessero essere sempre sostituite con altre, ad esempio “sedie, tavoli e boccali di birra”, ovviamente a patto di cambiare anche il significato di tutti gli altri termini.

E’ un bel salto concettuale. Un bel salto concettuale che non sono sicuro che Kant avrebbe completamente sottoscritto.

In effetti, come Hilbert usa Kant per introdurre la sua geometria, Kant usa un brano di Francis Bacon per introdurre la sua “Critica” (nella seconda edizione). Niente che entri nel merito, ma è, ecco quello che stavo per dire qualche riga sopra, è curiosa la scelta della fonte.

Francis Bacon, nato il 22 gennaio 1561, è considerato soprattutto nel mondo anglosassone come il fondatore del metodo scientifico. Noi che conosciamo un po’ meglio le opere di Galileo Galilei, sappiamo che quest’ultimo aggiunge qualcosa di essenziale al pensiero di Bacone, e che il metodo scientifico, se esiste qualcosa di univocamente determinabile con tale espressione, è più facile accasarlo sulle rive dell’Arno che del Tamigi, ma non è questo ciò di cui voglio scrivere qui.

E’ che Bacone è uno dei primissimi sponsor del metodo induttivo: l’esperienza conduce alla formulazione dei principi astratti, con gradualità dal particolare verso il generale.

Hilbert rappresenta invece qualcosa di molto diverso. La fase di astrazione, dagli oggetti quotidiani alla loro rappresentazione geometrica, alla costruzione di oggetti astratti, è ormai data per acquisita. Ciò che Hilbert propone, per la prima volta nel campo della geometria in modo logicamente rigoroso, è una costruzione puramente astratta e assiomatica, da cui per deduzione si dimostrano proprietà altrettanto astratte. Con la possibilità, certamente, di trovare modelli (sistemi reali, i puntini sulle tavolette degli alessandrini oppure i boccali di birra) su cui applicare la struttura dei risultati, ma senza che questa ricerca di modelli abbia alcun peso nella determinazione della struttura teorica. Questa dipende solo dagli assiomi scelti e dalle leggi del pensiero (la logica).

Bacone e Hilbert, due grandi che celebrano i compleanni in questi giorni: hanno guardato il mondo da due punti di vista molto diversi, su due opposti versanti della conoscenza scientifica. E in mezzo, un valico: Kant e la sua ragion pura.

Perché mi vengono i brividi? Sarà l’aria di montagna?

Un debito di gratitudine

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Ci sono dei mestieri privilegiati, perché si lasciano scoprire in modi diversi e a età diverse, e grazie a persone diverse. Il mio, ad esempio.

Alcuni scoprono il mestiere di insegnante quando iniziano, per un’occasione fortuita, a farlo, senza aver mai prima pensato che quello è effettivamente un mestiere. Altri scelgono una disciplina, la approfondiscono, si appassionano, e un po’ forzatamente, un po’ per gioco, scoprono che possono insegnarla.

Io l’ho scoperto ancora prima, quando ero tra i banchi, alle superiori. La matematica mi era sempre piaciuta molto, probabilmente anche perché mi riusciva bene; la fisica un po’ meno e da meno tempo. Ma come insegnanti di matematica ho sempre visto un alternarsi, di anno in anno, di supplente in supplente, era l’impressione che ne avevo, non ovviamente un giudizio a posteriori, di docenti decenti e meno decenti.

Al liceo ero nell’ultima sezione, la G. Eravamo nei sotterranei, tutti noi della G. Cosa che non ci dispiaceva molto: alla periferia dell’impero i controlli erano sicuramente meno pressanti che, ad esempio, su nei piani alti della capitale, vicino alla Presidenza, dove era dislocata la sezione A. La prima, la “migliore”. Loro, lassù, avevano gli insegnanti di ruolo, noi i supplenti, o gli ultimi arrivati, nelle cantine.

Io avevo tanti amici nelle diverse classi della A. All’intervallo, quando spesso salivo a trovarli (vabbè, la storia è più complessa, ma non c’è bisogno di entrare nei dettagli), o fuori, quando ci vedevamo in compagnia e la scuola rimaneva un importante argomento di confronto e conversazione, ci raccontavamo tante cose, compresi i nostri rispettivi docenti.

Io mi ero fatto l’idea che la storia della A era una bufala. Perché confrontando i nostri prof, in questa materia loro si lamentavano ma io ero contento, in quell’altra erano contenti loro ma mi lamentavo io. Era sostanzialmente un pareggio. Se si eccettuava matematica.

Sì, perché su matematica loro non scherzavano. Anche negli anni fausti in cui io potevo vantarmi, non potevo certo competere con quello che mi dicevano loro.

A diciassette diciott’anni avevo imparato già a fare la tara ai discorsi trionfalistici. Per cui non era ciò che mi raccontavano a colpirmi (e a suscitare un tantino d’invidia), ma piuttosto il “come” lo dicevano. Non erano gli espedienti didattici, gli episodi, i risultati a risultarmi importanti, ma ciò che i racconti rivelavano tra le righe.

Rispetto. Grandissimo. Da parte di amici cari, di cui avevo (e ho) stima, nei confronti della loro prof di mate e fisica. E che vedevo motivato, nei loro racconti, dal grandissimo rispetto che lei aveva di loro. Affetto, anche questo grandissimo. Qualcuno la chiamava “la mamma”, ma anche dai racconti di chi non lo faceva intuivo l’attenzione personale, l’interesse e l’interesssamento personale che questa prof, dall’aspetto effettivamente materno, morbido, sorridente, doveva avere per ciascuno dei suoi studenti. Ammirazione per la sua competenza, sia nella disciplina che nel come porgerla. Frutto, evidentemente, di studio, di esperienza, di elaborazione, di fine sensibilità.

Nemmeno nei miei anni fausti io potevo arrivare a questo, nei confronti dei miei insegnanti di matematica.

Io, a quel punto, sapevo che avrei studiato fisica. E sapevo anche, credo, che avrei fatto l’insegnante, prima o poi. Ma tra tutto, ciò che rendeva davvero affascinante questa prospettiva era l’idea di poter arrivare, un giorno, alla consapevolezza che i miei studenti (ed ex-studenti) parlassero di me in quegli stessi termini. Non tanto per mia soddisfazione personale, quanto per la rilevanza delle materie, la preparazione, l’esperienza di apprendimento che questo rapporto speciale e solido con la prof rivelava in coloro che ne parlavano.

Poi, ed è stato quasi uno shock, ho scoperto che lei mi conosceva. Non ho mai capito come, ma è possibile che il motivo fosse l’abitudine, insospettata, che alcuni docenti avevano di parlare dei loro studenti in sala insegnanti. Un po’ come noi studenti facevamo tra di noi con loro. O forse perché alla maturità (che si chiamava maturità), la nostra quintaG, per qualche strano gioco di aritmetica amministrativa, era stata inserita nella stessa commissione della sua quintaA.

Di sfuggita, e me ne sono sempre sentito sorpreso e lusingato, in corridoio anziché in classe, il suo sorriso incoraggiante ha toccato anche me.

Col tempo ho imparato che non c’è un modello di insegnante buono per tutte le stagioni, che non esiste l’insegnante perfetto, che si impara sempre qualcosa da chiunque. Ma quel che ho imparato da quell’insegnante non mia è stato ed è ancora centrale nel mio modo di intendere il mio mestiere. Ho imparato da lei, indirettamente soprattutto, riflettendo, che si può lavorare scrupolosamente e con dedizione, in modo esigente con se stessi e con i propri studenti, considerandoli come persone a tutti gli effetti, e vedere che i risultati di questo lavoro sono riconosciuti dagli studenti stessi per primi.

E se, passato ormai dall’altra parte della cattedra, fino all’anno scorso sempre avevo cercato di evitare supplenze in quell’istituto e mai avevo chiesto trasferimenti o assegnazioni lì, è principalmente per un senso di soggezione dei luoghi e delle persone, e tra le persone, sicuramente di lei, una tra le poche rimaste in servizio di quelle che avevo conosciuto. Soggezione di lei, per ciò che le devo. Una soggezione probabilmente ingiustificata, di cui credo che lei stessa avrebbe riso, tanto più che poi i casi della vita mi avevano regalato la fortuna dell’amicizia di un pezzo della sua bella famiglia. Ma tant’è.

Non so se queste parole gliele avrei volute dire. Certamente non avrei saputo farlo, a lei in persona. Forse possono però essere ben accette a chi oggi piange la sua scomparsa. Da parte mia, trovo davvero consolante il fatto che la sua lontana presenza abbia potuto significare tanto per me: mi chiedo, e la povera risposta mi sorprende, quanto può aver significato, nella vita di centinaia di studenti “suoi”, la sua forte presenza.

Addio, prof.

E, anche se probabilmente le verrebbe da dire di non meritare la mia gratitudine perché è semplicemente così che si fa il suo mestiere, il nostro mestiere, cara prof, grazie.