Darei gli ori di famiglia per addormentarmi. Davvero. Dalle dieci e mezza sto cercando. Davanti mi passa tutta la vita. Da impazzire. Da questa finestra le sento tutte. Davanti alla chiesa, proprio, doveva essere l’albergo. Da qualche parte ho un sonnifero. Dai, pensiamo alle pecore, alle mucche, cosa posso contare? Davvero. Darei gli ori di famiglia per riposarmi. Domani è il giorno. Domani lo incontrerò, finalmente. Domani… … ed è solo mezzanotte meno un quarto.
Come si legge dal titolo, in questo post si parla di Rameau, Jean-Philippe Rameau. Non è quello del Martini shakerato, è quello che suona il violino come se fosse una chitarra (almeno, l’immagine lo mostra così). Rameau (1683-1764) è di Digione come la senape.
Cosa fa di bello il Gianfilippo? Tante cose. Alcune non simpaticissime: azzera lo style brisé di Couperin e riporta in auge le vecchie distinzioni delle voci e dei loro ruoli. E’ un teorico: scrive dei trattati fondamentali di armonia (nel senso che ci studia su poi un sacco di gente del mestiere negli anni successivi). Riprende Pitagora e le sue idee sulle corde e si avvicina alla fisica del suono. Non fa troppa fatica: bisogna ricordare che vede l’uscita, nel 1751, dell’Encyclopédie curata da quel D’Alembert che aveva scoperto come si propagano le onde lungo le corde.
E, tra le altre cose (ci sono su YouTube dei video con ore di antologie Rameau; se vi piace il genere, non vi deluderà, nemmeno come capacità di innovazione, nonostante l’atteggiamento reazionario dimostrato nei confronti della pasta brisée del povero François), Rameau è quello della gallina. La poule, come scriveva lui.
Musica che descrive, che imita il suono del pollo. Oddio, imita qualcosa del suono della pollastra, inserendo cambiamenti di registro e di tonalità imprevedibili, un po’ com’è l’indole del gallinaceo, ma pur sempre nella struttura del Rondeau, composto da diversi doublets tra cui si inserisce un refrain. La melodia sta alla voce alta e l’accompagnamento a quella bassa. Un sacco di abbellimenti (trilli, mordenti, quelle notine veloci che sembrano dei tremolii), che sono parte integrante del suono dell’uccello da cortile, non abbelliscono per niente, descrivono puntualmente.
Ed ecco la consegna dell’esercizio di scrittura con cui si apre questo post: scegli un suono della realtà quotidiana — il rumore di una porta che si chiude, il verso di un animale, il suono della pioggia, il ritmo di un treno. Descrivi quel suono in parole, ma non con aggettivi — con strutture: quanto dura, quante volte si ripete, se accelera o rallenta, se è regolare o irregolare, se ha un’altezza riconoscibile o è rumore puro. Poi traduci quella descrizione strutturale in un testo scritto in cui il ritmo delle frasi, la lunghezza delle parole, la punteggiatura riproducano le caratteristiche che hai identificato. Non cercare di descrivere il suono, ma di realizzare il suono, nella struttura della scrittura.
Ci sono tanti modi di imitare la realtà, di fare i conti con la descrizione in musica di qualcosa che conosciamo. Quello di Rameau è il più immediato. Non avrebbe potuto farlo con un pesce, o un albero, perché l’operazione è quella di traduzione di un suono naturale in musica. Più avanti nel percorso vedremo modi più sofisticati e concettuali. Qui siamo al piano fisico, e si può dire che il Gianfi se la cavi benone.
Un altro esempio, certamente più semplice e solo di pochi anni successivo (1735), è il cucù di Daquin. Così, per confronto, lo metto qui di seguito. Ma si vede benissimo che le voci sono esattamente due, proprio come le mani, e che ciascuna delle due voci/mani ha un ruolo ben preciso e costante.
Dalla mia gabbia lo vedo: il cellulare è sul tavolo, è ancora caldo, ed è aperto su Whatsapp.
Si vede, ancora per qualche secondo un messaggio ricevuto da Wilma, con una posizione: leggo un nome, Perugia, vicino a un puntino rosso. Lo schermo si spegne.
Rumore di passi, scarpe col tacco, al piano di sopra.
Ancora tacchi, ma ora si aggiungono le rotelle di un trolley sul pavimento in parquet.
Il trolley e i tacchi si muovono intorno alle ante di un armadio che si aprono, e poi si chiudono.
Di nuovo rumore di legno percosso da tacchi e rotelle, suono che si fa più forte e più vicino, scale discese.
Cessano i rumori, e una mano femminile, ben curata, unghie lunghe e rosse, una vera e un diamante sull’anulare, si allunga verso il cellulare. Lo afferra.
Sento di nuovo tacchi verso il corridoio.
Ora vedo la signora nello specchio. Con il mignolo si sistema il rossetto ai lati della bocca. Poi guarda il telefono.
Sento: “Tesoro, devo fare un salto in Umbria, un cliente. Ti chiamo stasera dall’albergo. Ciao”.
La sua voce di nuovo ripete le stesse parole, con tono metallico. Suono di chiavi. Le rotelle si allontanano, i tacchi anche.
“Esce, signora?” chiede la voce della tipa che mi dà da mangiare. “Sì, chiudi tu per favore. Torno domani. Marco è in Francia, rientra sabato. Mi raccomando la spazzatura. Grazie Agnese”.
Attenzione: la spazzatura? “Ah, e Cocò, acqua e cibo per favore, se no mi muore”. Ecco, meno male.
La porta si apre, si apre il garage, si chiude la porta, Agnese si mette a cantare.
La BMW si avvia, parte, il garage si chiude. Agnese continua a cantare. E finalmente sento il rumore della scatola del miglio. Era ora.
Che ci dice questo brano? Un brano in cui si riesce a riconoscere una storia, ma è sbriciolata nelle impressioni sensorie di un osservatore che ci lascia saltare alle conclusioni. La consegna, che puoi seguire anche tu e provare a soddisfare, è quella che segue. Scrivi un testo composto da circa 15 paragrafi che sviluppi una trama perfettamente riconoscibile. Deve avere un inizio, uno sviluppo e un colpo di scena, ma nessuna frase deve raccontare la trama in modo esplicito. Il vincolo: ogni frase deve essere un’immagine o un frammento sensoriale indipendente (una nota isolata), che però si prolunga e risuona dentro quella successiva. La storia deve emergere nell’aria, dall’insieme delle risonanze, e il vero punto di vista (il portatore della melodia) deve rimanere invisibile, svelandosi solo nell’ultimo accordo del testo.
A chi assomiglia questo modo di scrivere? Direi prima di tutto a uno stile, il cosiddetto style brisé, lo stile spezzato che caratterizza alcune composizioni di François Couperin, grande clavicembalista di corte di Luigi XIV e XV. E’ uno stile che imita sulla tastiera la dinamica esecutiva del liuto. Ossia, il suo modo di arpeggiare e di tenere le note a lungo in accordi che risuonano ancora intanto che i prossimi vengono suonati. Ed essendo una tecnica che usa molto l’arpeggiato e le note tenute anche sul clavicembalo si adatta male alla scrittura “a voci” che separa in modo rigido il ruolo del basso ostinato e del soprano melodico.
Tutto è un po’ mescolato: Couperin non abbandona alla voce del basso il ruolo del basso ostinato, la parte ritmica e armonica. Affida questi ruoli all’insieme delle voci (un po’ come Lully faceva con l’orchestra e il coro). Lo stesso fa con il canto, la melodia che tradizionalmente è portato dalla voce acuta, quella detta del “soprano” (in analogia con il soprano del canto lirico). Anche in questo caso, Couperin alleggerisce la voce “soprano” dalla funzione melodica che tradizionalmente ricopriva. Invece, la sbriciola su tutte le voci. E’ così libero di far tacere la voce soprano, di farla partecipare alla melodia, di impegnarla in abbellimenti o vocalizzi.
Con Couperin, con alcuni dei suoi oltre duecento brani per clavicembalo, le voci dell’impianto tradizionale perdono le connotazioni funzionali tradizionali, o almeno il loro automatismo. La melodia si nasconde, l’impianto armonico pure, e così il ritmo. Tutto è nascosto ma ben presente.
Un esempio di questo stile è il brano Les barricades mystérieuses.
In questo arrangiamento che presenta anche il liuto, si può vedere e sentire la sovrapposizione delle tecniche esecutive:
Questo stile spezzato verrà ripudiato dalla generazione successiva di clavicembalisti francesi (ad esempio Rameau), ma verrà invece incluso in quel catalogo di composizione ed esecuzione clavicembalistica che è il “Clavicembalo ben temperato” di Bach, che proprio nel primo preludio omaggia (in modo abbastanza evidente, anche se con una rigidità formale tutta tedesca e bachiana, lontana dall’improvvisazione vera o simulata alla francese) proprio questo style brisé, e quindi Couperin.
La melodia si nasconde (e in effetti non è facile trovarla e canticchiarla), l’armonia viene fuori dal tutto, il ritmo è evidente ma anch’esso emerge dall’interazione delle voci, piuttosto che dal martellare di una sola. E’ un passo avanti strutturale, che confonde le strutture tradizionali, le diffonde e distribuisce, ma, come in Lully, l’effetto è di un rafforzamento del valore di tali strutture, perché ora permeano il brano in profondità.
Verso mezzanotte Carlo, approfittando di una pausa dell’orchestrina, si alzò dalla panca, salutò i suoi amici seduti allo stesso tavolo, raccolse con attenzione i resti della cena per buttarli nei contenitori all’ingresso della piazza e si diresse verso casa. La pausa si protrasse abbastanza da permettergli di attraversare tutta la piazza e di salutare Mariangela, il cui compito era fare attenzione all’accesso lungo la strada principale. La musica riprese quando ormai Carlo camminava da solo verso casa. Non si accorse, come se fosse in uno stato di sospensione di coscienza, che i suoi passi lo portavano automaticamente verso la destinazione, mentre la sua attenzione era rivolta ai rumori, al vento che soffiava tra le case e il bosco e nel quale sentiva a tratti la musica della sagra e i cori dell’eremo; tutto sembrava tranquillo quando giunse a casa. Notò tuttavia da qualche metro di distanza, su un lato della cassetta della posta, un segno tracciato con un gessetto. Senza fermarsi frugò nella tasca, dove teneva, per abitudine, un frammento di gesso bianco. Intanto che apriva con attenzione la cassetta, che peraltro aveva già controllato al mattino, alla luce della torcia del cellulare tracciò un segno a fianco dell’altro, e riscontrò che questo era giallo, non bianco come il suo: l’illuminazione notturna richiedeva questa prova. Fece per entrare in casa, e vide il secondo segno, più piccolo, a fianco del campanello. Entrò e senza nemmeno fermarsi, si diresse alla sua camera, estrasse una borsa da sopra l’armadio, controllò alcuni oggetti, carte, denaro e li trasferì nella sua valigetta di scuola, vi aggiunse qualche capo di vestiario accuratamente selezionato dal suo guardaroba, la chiuse e, ripetendo con un amaro sorriso l’espressione “Moscow rules”, spense la luce in tutta l’abitazione e si mise in poltrona a riposare. Non dormì, effettivamente, ma si rilassò a sufficienza per il viaggio che l’avrebbe aspettato l’indomani. Doveva raggiungere Bologna, considerò con precisione, dove avrebbe cercato il signor Luton. Il silenzio in tutto l’appartamento lo rassicurava. In tasca aveva comunque qualcosa con cui difendersi, e non era il gessetto. Sapeva che questa pausa di qualche mese in questo paesino dell’Italia centrale sarebbe finita prima o poi. Durante le vacanze estive effettivamente era meglio, non doveva avvisare nessuno, aveva tempo di sistemare le questioni amministrative, se ce ne fosse stato bisogno. Quattro dei suoi sensi erano all’erta, scandagliavano gli scricchiolii, i movimenti d’aria, le ombre nello spazio che lo circondava. Giunta l’alba, interruppe il suo riposo e si alzò, come se fosse un giorno qualunque. Fece colazione con ciò che trovò in frigo, svuotò un’intera moka, si cambiò con cura, mettendo vestiti comodi per il viaggio, prese lo zaino e lasciò l’appartamento, salutandolo mentalmente: chissà quando, chissà se l’avrebbe rivisto. Carlo percepì il contrasto tra la quiete di un mondo ancora sotto le coperte, in quello stato di grazia tra la sveglia e l’alzata in cui ci si permette di abbandonare la coscienza ad un sogno che comprende la sensazione del corpo che gode del letto, e l’attenzione acuta che lo animava nel tragitto tra casa e stazione ferroviaria. Fu sul treno, quando potè finalmente chiudere gli occhi, abbassare il livello di tensione che aveva mantenuto invisibilmente elevato fin da quando era rientrato in casa la sera precedente. E quando riaprì gli occhi, dopo una pausa di qualche minuto, si accorse, con un certo piacere e infinita curiosità, che due file davanti a lui sedeva il collega Ermanno.
Eccoci con un nuovo esercizio di scrittura. La consegna è questa: scegli tre parole: semplici, concrete, di uso comune. Scrivi un testo in prosa di almeno otto sezioni su un personaggio a tua scelta. Nelle prime due sezioni le tre parole devono comparire esplicitamente, con precisione. Nelle sezioni successive possono comparire come sinonimi, come parole dello stesso campo semantico, come allusioni incarnate in un gesto o in un dettaglio narrativo. In un massimo di due sezioni una delle tre parole può essere completamente assente, a condizione che la sezione regga comunque.
Riesci a individuare quali parole ho scelto io? Indizio: i primi due sono nomi astratti, il terzo è concreto.
A ben guardare sia la consegna che il risultato assomigliano molto a quelli del post su Monteverdi. Ma ci sono delle differenze, che rispecchiano qualche novità che l’italo-francese J.-B. Lully portò alla corte del Re Sole. E per apprezzarle si può ascoltare la Passacaille tratta dalla tragédie en musique “Armide” (ispirata ovviamente alla Gerusalemme Liberata).
Il basso si sente subito. E’, tra l’altro, un classico basso di lamento diatonico (Sol-Fa-Mi bemolle-Re). Ma non si sente sempre, a differenza di quanto avviene negli esempi precedenti. Eppure se proviamo a canticchiarlo, non facciamo fatica: ci starebbe benissimo anche dove manca. Questo perché il basso sta qui perdendo la sua qualità di “voce più bassa”, ma diventa il principio armonico su cui si basa tutta la passacaglia. Non è più la sequenza di note (il tetracordo discendente) ma la sequenza di accordi che questo tetracordo induce (Sol minore, Si bemolle maggiore, Do maggiore, Re maggiore, con i rivolti necessari) ad essere onnipresente, e seguita scrupolosamente ormai da tutte le voci presenti. La presenza della sequenza melodica del basso diventa superflua, e Lully può permettersi di mantenerla od ometterla a suo piacimento.
Non solo, può anche permettersi di arricchirla, di tanto in tanto, di cromatismi: qualche nota intermedia, che crea tensioni che poi si risolvono con l’armonia principale. O qualche sequenza in un basso ascendente, anziché discendente, sempre in precisa aderenza con la sequenza armonica.
L’idea del basso ostinato di Monteverdi viene messa a sistema (tra l’altro, un sistema di proporzioni decisamente più vaste: qui un’orchestra di dimensioni abbastanza ampie per l’epoca, coro e solista), a tal punto che non è più nemmeno necessario che sia esplicita, visibile o udibile direttamente.
Lully è il musicista di corte di Luigi XIV. Rende in musica il principio organizzatore della corte di Versailles, non solo una reggia ma una vera e propria macchina politica. Luigi XIV trasforma la corte in uno spazio in cui ogni gesto, ogni abito, ogni movimento del corpo è codificato secondo un sistema di regole precise che riflettono e riproducono la gerarchia del potere. Chi siede dove, chi si inchina a chi, come si cammina, come si danza: tutto è prescritto, tutto è visibile, tutto è politico. In questo sistema, la musica non è intrattenimento: è architettura sociale.
Lully è l’architetto di questa musica. Le suite di danze che compone per la corte — allemande, courante, sarabande, gighe, minuetti — non sono semplici pezzi da ballo: sono forme con proporzioni fisse che codificano il corpo e il comportamento. La sarabanda è lenta e solenne, adatta alla dignità dei grandi; la giga è veloce e irregolare, adatta alla vivacità dei giovani; il minuetto è equilibrato e simmetrico, adatta all’eleganza di tutti. Ogni danza ha il suo metro, il suo carattere, il suo posto nella gerarchia delle forme. Le suites (che più avanti verranno codificate come raccolte di brani ben precisi) di Lully sono sequenze di questi caratteri, con una ouverture iniziale e un percorso attraverso le emozioni e i comportamenti che la corte riconosce come propri.
La passacaglia/ciaccona si colloca al vertice di questa gerarchia: è la forma più ampia, più complessa, più rappresentativa. Non si balla necessariamente (e in effetti perderà col tempo questa caratteristica per rimanere una struttura compositiva pura): si può semplicemente ascoltare e ammirare. È la forma in cui il potere si rappresenta a se stesso nella sua massima grandiosità. Quando Bach scrive la Ciaccona per violino (Partita BWV 1004), un’opera solitaria, privata, priva di qualsiasi funzione sociale, prende la stessa struttura matematica e la svuota di ogni connotazione politica. Quando Brahms usa una passacaglia nel finale della Sinfonia n. 4, la trasforma in congedo. La struttura viaggia attraverso i secoli cambiando significato ogni volta, ma portando sempre con sé la memoria di ciò che è stata.
Ermanno diede un’occhiata al foglietto che teneva in mano. Chiuse gli occhi per qualche secondo, ricordando il maestro che trent’anni prima gliel’aveva consegnato, quando era entrato nella comunità; li riaprì e adagiò il foglietto sul fondo del baule che aveva contenuto i suoi averi; chiuse il baule vuoto.
Si guardò intorno: la cella era vuota, a parte lui, in piedi, e il suo zaino, ai suoi piedi. Sentì gratitudine per la protezione che questi dodici metri quadrati gli avevano garantito negli ultimi anni. Ma era ora di lasciarla: si volse verso la porta, l’aprì, uscì nel corridoio buio mettendosi lo zaino in spalla, e infine la richiuse, spegnendo la luce.
Intorno a lui il silenzio e l’oscurità. Intanto che camminava per i corridoi, l’olfatto era l’unico tra i sensi a fornirgli stimoli; Ermanno salutò con emozione i ricordi che il suo passaggio evocava. Il suo dito si arrestò per un secondo sul pulsante rosso dell’elettroserratura del portone principale; infine lo premette ed uscì, richiudendo piano ma fino in fondo.
“Perspice, perpende, percipe, perage”.
Il bosco profumava di notte, la luce tenue e mobile dei lampioni tra i rami gli indicava la strada. Vedeva davanti a sé treni, il mare, il nord. Si voltò un’ultima volta, l’eremo era immerso nell’oscurità della foresta. Ermanno recitò mentalmente il salmo 91 intanto che s’incamminava. Al gloria si aggiustò gli spallacci e allungò il passo.
La strada era deserta, nella foresta, ma più giù, in fondo alla valle, qualche faro passava di quando in quando. Ermanno fece due calcoli: camminando speditamente sarebbe arrivato al paese all’alba. Avrebbe allora preso il primo treno, prima delle lodi. Il piano stava funzionando, tutto era in ordine. Ermanno si permise un sorriso. Tirò fuori dalla tasca un panino avvolto in un tovagliolo e lo addentò.
Il cielo iniziava a farsi chiaro quando arrivò in paese. Incontrò una panetteria aperta, l’unico segno del risveglio. Giunse infine alla stazione ferroviaria. Una corriera blu sostava davanti all’edificio. Il treno era fermo al binario, con il motore diesel acceso. Ermanno valutò: la corriera che prendeva tutti i giorni per andare a scuola, o il treno verso la sua nuova vita? Sorrise di nuovo: non c’erano dubbi. Andò verso la biglietteria automatica, acquistò il biglietto, e, senza voltarsi indietro, salì sul treno.
“Perspice, perpende, percipe, perage”.
Qual è, questa volta, la consegna di scrittura che ho cercato di rispettare?
Scegli una frase di quattro parole — semplice, concreta, neutra. Questa è la tua base: si ripeterà invariata a intervalli costanti. Tra una ripetizione e l’altra scrivi liberamente — puoi cambiare tono, registro, argomento, punto di vista. L’unico vincolo è che ogni sezione libera deve in qualche modo rispondere alla base, anche implicitamente.
A che musica assomiglia questa struttura? A quella che Claudio Monteverdi (1567-1643) propone nella sua musica, abbastanza generalmente. Alla base corrisponde il cosiddetto basso continuo, sul quale le varie voci si accordano.
In che modo questo è innovativo? L’armonia, ad esempio quella di Palestrina o di Allegri, emergeva dalla sovrapposizione delle varie voci. Qui invece abbiamo una linea armonica che non funge da “voce” a se stante. Essa fornisce il tappeto sul quale le voci melodiche si muovono in modo da risultare compatibili. Un vincolo (che in realtà può essere a sua volta determinato da una particolare linea melodica) che costringe la libertà melodica di tutte (le altre) voci.
Alcuni esempi da ascoltare? Zefiro torna (ciaccona su testo di Ottavio Rinuccini), in cui è evidentissimo il ruolo ritmico e armonico del basso.
Un altro esempio è il Lamento della ninfa, un madrigale in cui il basso continuo assume una caratteristica talmente peculiare da avere un nome specifico, il basso di lamento, ossia una linea discendente che richiama il pianto ed è usata, specialmente per brani drammatici e con il carattere, appunto, del lamento.
L’idea del basso continuo ebbe un successo clamoroso per tutto il ‘600 e diventò cruciale nella musica concertistica di tutto il periodo barocco e oltre. Il basso di lamento (qui un’analisi storica) viene ripreso ad esempio da Purcell, nell’aria del lamento di Didone, When I am laid in earth (Dido and Aeneas, 1689), da Bach nel Crucifixus del Credo (Messa in si minore, 1749), e avanti fino al ‘900 con, ad esempio, Ray Charles in Hit the road, Jack (1961) o i Led Zeppelin in Stairway to heaven (1971).
Ecco allora la consegna e il mio tentativo (perché non provi anche tu?): un elemento fondamentale di poche note che si ripetono, che creano una sequenza riconoscibile di per sé e riscontrabili secondariamente nelle altre narrazioni che, per potersi sovrapporre armonicamente ad esso, devono ad esso adeguarsi. C’è un perspice, in ogni riga, c’è un perpende, in ogni riga; c’è anche un percipe, in ogni riga, e in ogni riga c’è, finalmente, anche un perage.
ATTO 53 — Respighi (2), o dell’antico che avanza | 12 novembre 2026
─────────────────────────────────────────────────────────────── Ogni atto è indipendente, ma insieme raccontano un pezzo di storia e di incarnazione matematica nel mondo musicale.
Dobbiamo prendere provvedimenti nei confronti del giovane; non sa quel che vuole, quest’errore sia fermato. Obbediente scompare la fanciulla nelle sue stanze, non lo cercherà: deve dimenticarla, non c’è scampo.
Dice che l’ama, dice di vedere una, due case in cui viver con lei senza viver con lei, se questo vuole, amandosi vicini ma lontani.
Per il bene di lui gli costruiremo una rete d’aiuti per capire che noi sappiamo il suo bene qual è. Gli troveremo un’altra che lo ami che un giorno imparerà a chiamare moglie, purché da qui in pace si ritiri.
Dice che del suo bene non discute con chi non è capace di vederlo sorridere coi cari di lei occhi, dice che mente chi vuole il suo bene senza parlare di quello di lei.
Fuori spingiamolo, non più parlargli dobbiamo, isoliamolo e allora lo vedremo convinto a dare a un’altra ciò che non può più donare a colei che ormai non gli rivolge la parola.
Ed è solo per questo che Romeo se n’è andato, e non vi disturberà più.
Romeo se n’è andato, non ci disturberà più
Lo spazio della pagina può essere strumento, come in una poesia impaginata così. Ma ormai l’avrete capito: anche questo è un esercizio di scrittura, e la consegna dice questo:
scrivi un testo per due voci che non si trovano nello stesso luogo — una voce vicina e una lontana, una voce interna e una esterna, una voce presente e una assente. Le due voci non dialogano direttamente: si alternano, ciascuna ignara dell’altra. Eppure il testo complessivo deve avere senso come se le due voci stessero rispondendo a una stessa domanda che nessuna delle due pronuncia esplicitamente. Il vincolo: le due voci devono unirsi nell’ultimo passaggio in un momento di sintesi dell’intero testo.
L’immagine della Cappella Sistina rispecchia questa struttura. Due cori, uno sulla cantoria, uno nascosto a fianco dell’altare maggiore, uno in alto e uno in basso, entrambi vicino alla parete che proietta il suono verso l’assemblea.
Gregorio Allegri (ca 1582-1652) è famoso principalmente per una composizione, il Miserere, la resa per coro del Salmo 50. Si tratta del salmo penitenziale per eccellenza, spesso integrato nella liturgia. Zio Greg (il mio figlio #1 così lo chiama, supponendo un’improbabile parentela) scrive per la cappella pontificia di Urbano VIII Barberini. Ha a disposizione la Cappella Sistina e la usa per mettere in scena effetti sonori innovativi. Usa lo spazio come uno strumento musicale.
La scrittura originale era probabilmente lacunosa, per lasciare spazio agli abbellimenti che i cantori spontaneamente e solitamente introducevano. La sovrapposizione delle voci si rispecchia nella sovrapposizione delle versioni del Miserere. Dalla prima metà del 1600 fino ad oggi l’evoluzione del testo, tra tentativi di completare la scrittura, errori di trascrizione e sedimentazioni della prassi esecutiva, è notevole. La versione che ascoltiamo oggi più comunemente presenta delle caratteristiche che, inseritesi per diversi motivi lungo i secoli, sono state assorbite e apprezzate dal pubblico.
Però la struttura matematica è chiarissima. La forma antifonale (in questo caso: due cori, in altri un solista e un coro, che si alternano cantando strofe speculari di un salmo o un cantico, spesso incorniciato da un’antifona, che riprende il tema del canto), antichissima, è qui evidente. I due cori, tuttavia, sono asimmetrici in numero (5+4 voci), posizione e qualità sonora. Le due voci si spartiscono i versi del salmo, non si parlano direttamente, ma si alternano nel portare il significato, nel fondere le loro voci, lontane tra loro, riverberate sulle pareti vicine. E la coerenza finale del testo è quella data dal contenuto: il Salmo 50, la richiesta di misericordia da parte della comunità dei fedeli che ha come fine il gradimento da parte di Dio delle offerte del popolo, la benevolenza del divino.
Quanti livelli di geometria: dello spazio, del tempo, delle voci, in un unico brano. Un nuovo atto nel mio percorso di scoperta della matematica nel mondo musicale. Se vuoi seguirlo, inizia qui e segui poi con Hildegard, Pérotin e Palestrina, fino a questo punto. Il prossimo post riguarda Claudio Monteverdi. Inoltre, l’intera serie sulla matematica della musica ha ora una pagina.
Onda dopo onda piano segue il mare il mio cammino. Passo dopo passo vado lento, sono solo sulla spiaggia; passo dopo passo, vado lento, salto: piano piano torno indietro, un’asperità vedevo una punta nella sabbia una chela ora pare; ma riprendo, passo dopo passo vado piano sulla spiaggia che s’interrompe qui: ora l’acqua impedisce di passare: nuoto attraverso metri salsi la corrente spinge fuori, l’acqua è dolce, questo è un fiume; ma risalgo; passo dopo passo vado lento, cerco ombra, ora scorgo una roccia sulla quale vive un albero, vi pose le radici: mi fermo. Chioma folta, sotto ombra. Siedo. Spalle contro pietra appoggio. Onda dopo onda piano suona il mare, s’avvicina. Dormo. Onda dopo onda piano suona il mare, nei miei sogni.
Ci siamo di nuovo, qualche nuova regola da seguire per scrivere qualche testo bizzarro, come qui e qui? C’è una matematica di fondo?
Effettivamente sì: questa volta le regole sono tre. Non sono immediatamente riconducibili alla matematica, ma costituiscono una struttura, e ogni struttura può essere vista come matematica.
Il flusso uniforme: il metro scelto si mantiene costante dall’inizio alla fine; è il battito che non cambia mai;
il meccanismo di molla-rilascio: ogni tensione deve essere introdotta e risolta prima che arrivi la successiva: non lasciare tensioni aperte;
la compensazione dei salti: puoi spezzare il metro in uno o due punti — una parola sola, un verso breve, un silenzio — ma solo per segnare un salto importante. Ogni salto deve essere seguito da un ritorno graduale al metro costante e al centro del tema.
Dov’è che si può trovare, nella musica, un sistema che segua queste regole?
Ad esempio, e probabilmente per la prima volta insieme e con questa consapevolezza, nei mottetti di Pierluigi da Palestrina, come Sicut Cervus.
Queste regole hanno permesso di vedere la polifonia, in un momento in cui questa era messa in discussione come musica liturgica dalla Controriforma cattolica, non come qualcosa che distragga l’ascoltatore e lo disperda nella confusione delle voci, ma come uno strumento che gli permette, invece, di cogliere nell’armonia pacificata delle voci la profondità del testo sacro, e la bellezza della musica che lo dispiega.
Alle 6:00 Ivan si svegliò a Hammersmith. Sapeva che non si sarebbe alzato da letto, non per pigrizia: l’incidente non gli lasciava molto da fare se non aspettare.
Alle 6:00 Irina si svegliò a Kensington, fece una doccia, uscì dal suo albergo e prese la metropolitana.
Alle 6:00 anche Jane si svegliò a Vauxhall, fece una doccia, uscì dal suo albergo e si avviò verso la metropolitana.
Alle 6:00 infine Mary si svegliò a Borough, fece una doccia, scese nella sala della colazione del suo albergo e prese un caffè lungo con un croissant, uscì dall’albergo e si avviò verso la metropolitana.
Alle 7:00 Irina uscì dalla metropolitana, si fermò a uno stand di giornali e comprò il Times, poi si avviò a piedi. Alle 7:30 si infilò in una caffetteria, dove ordinò un caffè lungo e un piatto di uova strapazzate col bacon.
Alle 7:00 Jane uscì dalla metropolitana, si fermò a uno stand di giornali e comprò il Times, poi prese un bus. Alle 8:00 scese e proseguì a piedi.
Alle 7:00 Mary uscì dalla metropolitana, mandò un messaggio al telefono e poi lo spense. Prese un bus. Alle 8:30 scese e proseguì a piedi.
Alle 8:00 Irina uscì dalla caffetteria ed entrò in un ospedale. Alle 8:30 ne uscì, con qualcosa in tasca. Prese un autobus.
Alle 8:00 Jane uscì dalla caffetteria e si incamminò lungo la stessa strada. Verso le 8:15 entrò in un negozio di valigie. Alle 8:30 ne uscì con un trolley nuovo. Alle 8:45 entrò in una libreria. Quando ne uscì alle 9:00 il suo trolley aveva l’aria di essere più pesante.
Alle 8:00 Mary scese dall’autobus, attraversò la strada e si fermò a uno stand di giornali ed acquistò il Times. Poi entrò nel parco, dove trovò una panchina e si sedette. A leggere il Times.
Alle 9:00 Irina scese dal bus, ed era di fianco al British Museum, ancora chiuso. Entrò in un negozio di cartoleria, alle 9:15. Ne uscì dopo pochi minuti e aveva al dito un piccolo rotolo di scotch. Alle 9:30 si sedette in una caffetteria, dove ordinò un succo di pompelmo, e si mise a leggere il Times.
Alle 9:00 Jane entrò in un negozio di lingerie. Ne uscì alle 9:30, dopo aver inserito nel trolley quel che aveva comprato. Alle 9:45 entrò in un negozio di cosmetici.
Alle 9:00 Mary uscì dal parco, prese un bus. Alle 9:30 ne scese e proseguì a piedi.
Alle 10:00 Irina si alzo dal tavolino della caffetteria, pagò, uscì e si mise in fila per entrare al British Museum. Alle 10:30 entrò e mandò un messaggio dal proprio cellulare. Poi si avviò verso la galleria Duveen, e si sedette ad ammirare i marmi di Elgin. Alle 10:45 appoggiò la copia del Times sulla panchina, si alzò per guardare un fregio da vicino. Poi si sedette di nuovo. Riprese in mano la copia del Times e se ne andò verso la Stele di Rosetta.
Alle 10:00 Jane si mise in fila per entrare al British Museum. Alle 10:15 entrò e mandò un messaggio dal proprio cellulare, poi si avviò verso la galleria Duveen, e si sedette ad ammirare i marmi di Elgin. Intanto che ammirava appoggiò la copia del Times sulla panchina. Alle 10:45 raccolse una copia del Times e se ne andò verso il tesoro di Sutton Hoo.
Alle 10:00 Mary entrò in una caffetteria, ordinò un succo di pompelmo e si sedette a un tavolino. Sotto il tavolino c’era un pezzetto di scotch, e qualcosa attaccato ad esso. Mary aprì il trolley, ne estrasse un Penguin con con la vita e le opinioni di Tristram Shandy gentiluomo, staccò lo scotch dal tavolino e lo inserì nel libro, che poi ricacciò nel trolley. Alle 10:45 si alzò, lasciò la sua copia del Times, pagò e uscì, avviandosi a piedi.
Alle 11:00 Irina uscì dal British Museum. Fece pochi passi e, alle 11:15 venne arrestata e portata alla più vicina stazione di polizia. La polizia pareva particolarmente interessata al giornale che ella aveva con sé.
Alle 11:00 Jane uscì dal British Museum. Fece pochi passi e, alle 11:15 venne arrestata e portata alla stazione di polizia, un’altra. La polizia, anche nel suo caso, pareva molto interessata al giornale che ella aveva con sé.
Alle 11:00 Mary prese la metropolitana.
Alle 12:00 Irina richiese un duty solicitor.
Alle 12:00 anche Jane richiese un duty solicitor.
Alle 12:00 Mary scese al Terminal 5 di Heathrow, con il suo trolley.
Alle 13:00 Irina fu interrogata alla presenza del suo difensore d’ufficio.
Alle 13:00 anche Jane fu interrogata alla presenza del suo difensore d’ufficio.
Alle 13:00 Mary si sedette al gate, in attesa del volo per Cracovia.
Alle 14:00 Irina fu rilasciata. Alle 14:15 si fermò in una caffetteria, prese un succo di pompelmo e un uovo strapazzato, e spedì un messaggio.
Alle 14:00 Jane fu rilasciata. Alle 14:45 si fermò in una caffetteria, prese un croissant e un caffè lungo e inviò un messaggio.
Alle 14:00 Mary si sedette a bordo, mandò un messaggio, mise il cellulare in modalità aereo e partì.
Alle 14:00 Ivan ricevette un messaggio, poi un altro alle 14:15 e un altro ancora alle 14:45; quindi sorrise, spense il cellulare e si addormentò.
Un po’ lunghetto. Ma se sei riuscito a resistere fin qui, confesso: anche in questo caso ho agito rispondendo a una consegna compositiva ben precisa. Questa:
Scrivi un breve racconto strutturato su tre o quattro “voci” (personaggi) seguendo queste regole matematico-compositive:
Il Tenor: scegli un personaggio che rimanga immobile o confinato per tutta la durata del racconto. Questo personaggio rappresenta il fondamento su cui poggia l’intera struttura.
Le Voci Superiori: Crea altri due o tre personaggi che partano tutti nello stesso istante, ma che si muovano a velocità diverse e compiano azioni differenti.
La Consonanza: Stabilisci dei punti orari precisi (es. le 10:00) in cui le traiettorie dei personaggi devono incrociarsi fisicamente o idealmente.
Il Micro-ritmo: Inserisci piccoli dettagli che fungano da “fioriture” rapide sopra il flusso lento del tempo.
A chi assomiglia questa struttura? A cosa? Beh, è pensata per ricalcare un Organum di Pérotin (XII-XIII secolo).
In un’epoca in cui la musica era quasi sempre una linea singola (il Canto Gregoriano), Pérotin introduce la dimensione del tempo frazionato. Al centro della sua architettura mette il Tenor: una melodia antica, sacra, stirata a tal punto che ogni sua nota diventa un pilastro immobile, un “Ivan” che aspetta. Sopra questo gigante addormentato, Pérotin fa danzare altre due o tre voci (Duplum, Triplum, Quadruplum).
Queste voci sono le nostre “Irina, Jane e Mary”: si muovono agilmente, si rincorrono con ritmi diversi, s’intrecciano in modi complessi ma tornano sempre a incontrarsi sulle note del Tenor. La matematica di Pérotin non è un calcolo freddo, ma l’arte di gestire il traffico delle anime nel tempo: è la scoperta che più voci possono abitare lo stesso istante, ognuna con la propria velocità, senza che l’unità del tutto venga mai meno.
Non sono diventato pazzo, è solo un esercizio. Dicevo qui che sono partito per un (lungo) viaggio a caccia di matematica nella musica. Ecco, non c’è solo la matematica delle radici e dei calcoli. Ho incontrato, soprattutto, la matematica delle strutture. Sequenze, ripetizioni, blocchi, trasformazioni, simmetrie: questa è la forma di matematica che è più facile incontrare nella musica che ho ascoltato. Una matematica che spesso si rende facilmente visibile come geometria sugli spartiti, oltre che udibile a un primo ascolto. Altre volte richiede uno sguardo d’insieme in grado di percepire quali sono i mattoni usati per la composizione. Ed ecco il motivo di questo esercizio, che cerca di riproporre sulla nostra lingua naturale geometrie simili a quelle che caratterizzano un particolare brano: O visaeternitatis, di Ildegarda di Bingen (1098-1179).
Torno all’esercizio. La consegna era: scrivi un verso con un certo numero di sillabe (una terzina di endecasillabi ne ha circa trentatré) che mostri un arco ascendente e poi discendente. La frase deve avere un punto di partenza in basso, un apice preciso e una discesa finale allo stesso livello della partenza. Poi riscrivi lo stesso verso, spostando ogni volta l’apice. Nel mio caso, l’apice (l’eremo) è comparso per la prima volta in fondo alla prima terzina, e a ogni riscrittura è arretrato: nel secondo verso e poi nel primo. Il vincolo sillabico impone di cambiare qualcosa, spostando l’apice: il peso e il significato del verso non è lo stesso. Anticipando il punto intermedio, c’è sempre meno spazio per l’andata e sempre più per il ritorno.
(Non è semplicissimo, ma perché non provi anche tu? La consegna è qui sopra… Può essere divertente e certamente aiuta molto a capire).
E’ quello che succede, facendo i dovuti paralleli, nella monodia medievale di Hildegard.
I dovuti paralleli: non è il numero di sillabe a costituire il vincolo, ma il testo della preghiera, a cui la monodia si adatta. Inoltre, non c’è un solo arco ascendente-discendente, ma vi è un andamento alternato centrato su una nota base, a cui sempre si ritorna, alla fine di ogni frase; e in mezzo, cellule di note combinate in modo modulare portano ad apici anche molto distanti dalla nota base, quando si parla della forza dell’eternità.
Hildegard usa un ambitus, cioè un’estensione, ampia per l’epoca: anche due ottave. Questo significa che la sua linea non è “piatta”, ma ha valli e creste con salti di quinta che danno luogo a “pendenze” più accentuate rispetto al gregoriano standard.
Non c’è accompagnamento, non c’è basso, non c’è ritmo scandito da una misura fissa: il tempo è quello della parola, del respiro, della frase. Hildegard scrive per una voce sola in uno spazio acustico preciso — la pietra di una chiesa o di un’abbazia, con la sua risonanza naturale. Il silenzio non è assenza: è la materia in cui la linea melodica si estende e risuona. La matematica è quella degli intervalli: la quinta e l’ottava come consonanze pure, il salto come tensione, il grado congiunto come distensione. Ogni frase melodica è un arco — una traiettoria che parte, si alza, tocca il punto più alto e torna. Non c’è sviluppo, non c’è dialettica: c’è la forma dell’arco, ripetuta e variata, come una proporzione che si afferma e si conferma.
Gli spunti matematici sono diversi: dalla balistica (le traiettorie ad arco: ovviamente gli archi di Hildegard non potevano informarsi alle costruzioni delle parabole che caratterizzano il moto dei proiettili, ma la forma che assumono è riconducibile in senso metaforico e strutturale ad esse), alla combinatoria (come combinare cellule e salti per ottenere traiettorie sempre più ardite; anche in questo caso è uno spunto per analogia, perché Hildegard non esplora tutte le possibilità date dalla situazione/nota di partenza per lanciare la sua preghiera sempre più lontano; e tuttavia l’operazione di combinare cellule neumatiche in modo diverso è essenzialmente combinatoria).
Ed è molto bello vedere che già mille anni fa chi scriveva musica, per fortuna ma non solo per fortuna destinata a sopravvivere fino ad oggi, consapevolmente e deliberatamente adottasse una poetica in cui la struttura, la progettazione, l’uso della razionalità, e una buona dose di artigianato, affiancavano il talento e il genio.
Da diverso tempo volevo scrivere qualcosa sui legami tra matematica e musica, da esperto della prima con qualche rudimento della seconda. L’occasione mi è offerta da un lavoro che ho svolto per testare le capacità di diverse piattaforme IA. Questo è diventato il primo di una serie di post che ho raccolto in questa pagina.
Mi sono reso conto che non c’è inizio migliore che parlare delle note. Do, Re, Mi… quelle.
Gli scrittori antichi che ci tramandano notizie sui cosiddetti pitagorici raccontano storie di corde. Ossia della scoperta che l’armonia dei suoni si ottiene suddividendo corde secondo numeri interi e rapporti semplici (a metà, a due terzi, a tre quarti…). Pare che questo abbia avuto una rilevanza notevole nella formulazione della teoria pitagorica del tutto è numero.
Una corda come unità di misura
Immaginiamo uno strumento con una corda lunga “1” (metro? piede? non importa: è la corda lunga 1, l’unità di misura). Quando la “suoniamo” otteniamo una certa nota (diciamo un Do). Se blocchiamo la corda a metà e la suoniamo otterremo un altro Do, solo più acuto (un’ottava sopra). Stoppando la corda a della lunghezza otterremo un Sol (una quinta sopra la nota di partenza). Bloccandola a un Fa (una quarta sopra la nota di partenza).
Il Do alto è una quarta sopra il Sol, che, a sua volta, è una quinta sopra il Do basso. Se prendo la corda lunga (Sol) e la stoppo ai suoi (una quarta sopra), avrò stoppato la corda di partenza ai suoi , ossia a metà. Il Do alto, appunto.
Questi “quarta” e “quinta” vengono da un modo bizzarro di contare i gradi della scala, che conta pure gli estremi: Do, Re, Mi, Fa: sono quattro, una quarta.
In realtà, facendo qualche calcolo, a chi ha studiato queste cose è venuto in mente che di gradi ne usiamo un po’ di più. Perché, ad esempio, tra Fa e Sol si può immaginare una nota intermedia. In realtà se ne possono immaginare infinite, di note intermedie. La nostra musica occidentale ne mette due, o una sola.
L’uso occidentale è quello di dividere l’ottava in dodici semitoni, e una scala (anche qui ci sarebbe tanta matematica: di scale ce ne sono di tanti tipi diversi, a seconda dell’assortimento di toni e semitoni) ne usa solamente alcuni, tipicamente sette più l’ottavo che è come il primo, solo un po’ più su.
Calcoliamo le lunghezze?
Bellissimo, vero? Tutte le note spiegate in termini di frazioni semplici… un modo meraviglioso per vedere la matematica all’interno dell’armonia, o l’armonia all’interno della matematica, come preferite. Ma una matematica semplice: quella delle frazioni!
Procediamo di quinta in quinta salendo, moltiplicando ogni volta per la lunghezza della corda precedente (nel grafico, numeri in rosso). Inoltre, moltiplichiamo per 2 quando la corda si fa troppo corta e il suono diventa più acuto del Do alto che prendiamo come limite superiore. Contemporaneamente, procediamo per quinte discendenti, moltiplicando ogni volta per (nel grafico, numeri in viola), e, nel caso otteniamo un numero maggiore di 1, dimezziamo salendo di un’ottava.
Le righe colorate vanno lette in sequenza dall’alto verso il basso. La sequenza rossa di quinte ascendenti parte dal Do basso, raggiunge il Sol, poi il Re (alto, che viene abbassato raddoppiando) etc. La sequenza viola di quinte discendenti parte dal Do alto, raggiunge il Fa, quindi il Si bemolle (sotto il Do basso, che viene alzato dimezzando) etc. Nell’ultima riga, in nero un valore approssimato ai centesimi della lunghezza della corda, se la corda di Do basso è lunga esattamente 1: come si vede Fa# e Sol bemolle non sono esattamente identici, in questa costruzione.
Così dovremmo raggiungere tutte le note, almeno le 12 note che vediamo in una tastiera del pianoforte. La sequenza rossa dovrebbe essere questa. Do – Sol – Re (abbassiamo) – La – Mi (abbassiamo) – Si – Fa# (abbassiamo). Quella viola: Do (alto) – Fa – Sib (alziamo) – Mib – Lab (alziamo) – Reb – Solb (alziamo). A questo punto dovremmo chiudere il cerchio, se Fa# e Sib sono la stessa nota, come siamo abituati a pensare.
Il problema
Iniziate a vedere il problema? Ogni salto di quinta verso l’alto si ottiene moltiplicando il numeratore per 2 (o per 4, se contemporaneamente scendiamo di un’ottava) e il denominatore per 3. Ogni salto di quinta verso il basso, invece, si ottiene moltiplicando il numeratore per 3 e il denominatore per 2 (o per 4, se contemporaneamente saliamo di un’ottava). Alla fine, il Fa# dovrà avere a denominatore una potenza di 3, mentre il Solb una potenza di 2. Non c’è modo che due frazioni fatte così possano essere uguali.
Il cerchio non si chiude. E’ un problema? Non lo è per quegli strumenti in cui l’intonazione è decisa dall’orecchio del musicista: la nota la prende dove gli serve su una tastiera senza tasti (come quella di un violino) che gli permette di scegliere in una continuità di lunghezze possibili. Ma in uno strumento che ha una corda per ogni nota, è necessario sapere esattamente se la corda è lunga come un Mi# o come un Fa, se con una lunghezza di 0,74 o di 0,75, perché questa è la differenza.
Ecco che la scoperta dei cosiddetti pitagorici (quella dei rapporti semplici secondo numeri interi) funziona molto bene localmente, vicino alla nota centrale usata come riferimento, ma via via diventa complicata e approssimativa allontanandosi da questa.
L’alternativa
C’è un’alternativa. E richiede la rinuncia ai numeri razionali: ognuna delle 12 note successive al Do che ha una corda lunga “1”, ha una lunghezza di : ad esempio la corda del Fa è lunga , molto vicino a 0,75 del Fa pitagorico; oppure quella del sol è , anche questo molto vicino ai del Sol pitagorico.
Questa dei numeri irrazionali è una strada che mai i pitagorici avrebbero potuto intraprendere. Ci sono almeno due versioni diverse sulla brutta fine che capitò al pitagorico Ippaso di Metaponto, colpevole di aver scoperto l’incommensurabilità della diagonale e del lato del quadrato, ossia di aver dimostrato che esistono rapporti non esprimibili come frazioni (irrazionali). E infatti è l’aristotelico Aristosseno di Taranto, a suggerire l’idea, poi sviluppata tra il 1500 e il 1800, del temperamento equabile, che prende piede in modo ampio solo nel 1900 (dell’era cristiana). In mezzo, sia in senso temporale che di sfumatura, diversi tentativi di “buoni temperamenti”, cioè di sistemazioni delle note in modo da avere 12 semitoni in un’ottava, anche se con rapporti non tutti identici, ma che consentono, comunque, di suonare in tutte le tonalità (cosa impossibile nel pitagorico), spesso donando a ciascuna di esse una particolare coloritura (cosa che non avviene nell’equabile).
Lunghezze delle corde secondo il temperamento equabile. Nell’ultima colonna i valori approssimati al centesimo. Come si vede le differenze sono piccole, talvolta sembrano non esserci. Tuttavia i valori di questa figura sono irrazionali, a differenza di quelli della figura precedente.
Questione d’orecchio
Non si tratta di questioni di lana caprina. Né dal punto di vista matematico, né da quello musicale.
Dal secondo, il cosiddetto comma pitagorico, cioè la differenza tra i punti di arrivo della costruzione del cerchio delle quinte secondo il temperamento pitagorico, è di quasi un quarto di tono, perfettamente all’interno delle capacità risolutive dell’orecchio umano. Questo agli estremi: per le posizioni intermedie comunque chi suona dice che la differenza tra i vari temperamenti si sente.
Effettivamente ci sono dei fenomeni fisici che in certe condizioni si verificano se le frequenze delle note non sono perfettamente multiple, i battimenti. Ad esempio, in questo video si può apprezzare, prestando attenzione e ascoltando più volte, le diverse vibrazioni prodotti da intervalli temperati in modo diverso. Gli intervalli di quinta, o di terza più o meno stretti caratteristici di questo o quel temperamento significano esperienze auditive diverse, una diversa resa dell’interazione tra strumenti e timbri diversi, una diversa fedeltà a ciò che coloro che quella musica l’hanno scritta o ascoltata per la prima volta hanno sentito davvero, visto che c’è una storia dietro ai diversi temperamenti.
Dal primo punto di vista, è un esempio abbastanza lampante delle diverse caratteristiche di numeri razionali e irrazionali, del loro emergere nella vita quotidiana, del fatto che, indipendentemente da come consideriamo i numeri, se li vediamo cioè come proprietà realmente presenti nel mondo che ci circonda, o come, invece, utili strumenti che la mente usa per rappresentare quello stesso mondo, essi ci interpellano anche in uno dei campi apparentemente più lontani dal rigore che solitamente riguarda la matematica, e lo fanno mettendosi i panni di veri e propri guastafeste, che ci impongono di scegliere cosa vogliamo salvare e in che misura: la simmetria di una struttura equa e ben misurata, e irrazionale, o la gradevolezza di un sistema perfettamente armonico, ma non dappertutto.
della lunghezza otterremo un Sol (una quinta sopra la nota di partenza). Bloccandola a 
un Fa (una quarta sopra la nota di partenza).
, ossia a metà. Il Do alto, appunto. 
(nel grafico, numeri in viola), e, nel caso otteniamo un numero maggiore di 1, dimezziamo salendo di un’ottava. 
![\frac{1}{\sqrt[12]{2^n}}](https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%5B12%5D%7B2%5En%7D%7D&bg=ffffff&fg=000&s=0&c=20201002)
: ad esempio la corda del Fa è lunga ![\frac{1}{\sqrt[12]{2^5}}\approx 0,749](https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%5B12%5D%7B2%5E5%7D%7D%5Capprox+0%2C749&bg=ffffff&fg=000&s=0&c=20201002)
, molto vicino a 0,75 del Fa pitagorico; oppure quella del sol è ![\frac{1}{\sqrt[12]{2^7}}\approx 0,667](https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%5B12%5D%7B2%5E7%7D%7D%5Capprox+0%2C667&bg=ffffff&fg=000&s=0&c=20201002)
, anche questo molto vicino ai 