E adesso che cosa devo fare? Come mi devo comportare?

Ermanno e Wilma sono a Bologna, ed entrambi vogliono vedermi.

Sarebbe bello fare una rimpatriata. Manca solo Chiara all’appello.
Però qualcosa mi dice che qualcuno non sarebbe d’accordo.

Tra l’altro Ermanno è con questo tizio che non ho ben capito chi sia.
Ermanno mi ha detto chiaramente che non vuole che si sappia che è qui.
Anzi, che non vuole che si sappia che entrambi sono qui.

E allora Wilma che vuole? Mi domando se è davvero una coincidenza.
Sono due anni che non ci vediamo. Devo incontrarla, per forza.
Tra l’altro, non farlo sarebbe abbastanza sospetto, mi pare.
Siamo sempre rimaste in buoni rapporti in tutti questi anni.
La nostra amicizia, nonostante tutto, è rimasta viva.

Nonostante tutto. Nonostante Ermanno e la sua sparizione.
Nonostante la nostra divergenza di vedute, Wilma ed io.
Nonostante poi il fatto che Chiara abbia dato ragione a me.
La cosa strana, in effetti, è che Ermanno mi abbia chiamato.
Credo che Ermanno sappia chi l’ha aiutato e chi non l’ha fatto.
E chi ha cercato di spingere Chiara verso di lui, i biglietti.
E’ proprio vero che i consigli sono un dono pericoloso.
Le parlerò, ma non tradirò Ermanno. Non lo farò di nuovo.

Quando qualcosa può essere diviso in due parti, c’è un particolare rapporto tra le due parti e tra le parti e il tutto che è molto ricorrente in natura. A volte è stato anche utilizzato nelle arti come canone di perfezione. Si tratta del rapporto aureo, che si ha quando, tra le due parti P_{1} e P_{2} di un tutto si instaura la relazione di proporzionalità (P_{1}+P_{2}):P_{2}=P_{2}:P_{1}. Ossia: la parte maggiore e la minore sono nella stessa relazione che c’è tra il tutto e la parte maggiore.

Il rapporto aureo, che è irrazionale, \varphi=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\approx 1,618, è anche il limite a cui tende il rapporto tra due termini successivi della successione di Fibonacci. Questa è la successione 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21… ottenendo ogni termine successivo sommando i due precedenti.

Questo rapporto appare in natura tutte le volte che si produce un accrescimento ottimizzato e autosimile. Dalla struttura del DNA all’accrescimento delle piante, dalla disposizione dei semi in certi fiori, alla crescita di corna e becchi in certi animali. Se ne accorse Luca Pacioli nel 1500. In arte, certe opere post-impressioniste (Seurat e Sérusier) e in musica Bartók e Debussy ne fanno uso. Ben più avanti, temporalmente, del nostro Mozart.

Eppure, qualche studioso ha notato una particolare regolarità in alcune composizioni di Mozart. Questo lascia aperta la domanda se si tratti di una coincidenza, magari legata a una particolare sensibilità che Mozart aveva per una proporzionalità “naturale”, o se l’abbia fatto di proposito e senza specificarlo esplicitamente.

Le composizioni sono le Sonate per pianoforte. Mozart ne ha scritte 18 più una (quella forse più famosa) “Sonata facile”. Di queste, una, la n. 11, K 331, inizia con un tema con variazioni), è fuori gioco. Le altre 18 hanno tutte, come primo movimento, un brano in forma-sonata (che prende proprio dalle sonate il nome). L’abbiamo già vista, questa forma-sonata: due temi organizzati in una esposizione, uno sviluppo e una ripresa. Nel caso delle sonate di Mozart, ci sono dei ritornelli che marcano una divisione in due parti. Il primo ritornello (che vuol dire che Wolfi pensava a una ripetizione della prima parte) comprende la sola esposizione. Il secondo ritornello, invece, include sia lo sviluppo che la ripresa. Anche qui, Mozart prevede che tutto venga ripetuto.

Ecco, se si contano le battute del primo ritornello e le battute del secondo, si vede che i numeri sono abbastanza variabili. Eppure, il rapporto tra il numero di battute del secondo ritornello e quelle del primo si avvicina sempre abbastanza a quel numero particolare \varphi.

Se aggiungiamo a questo fatto grafico il fatto che il tempo dell’esecuzione delle composizioni mozartiane è un tempo che viene scandito in modo regolare e sempre uguale lungo il corso di ciascun movimento della sonata, il fatto che il numero di battute delle due parti e del totale sia in una certa proporzione significa anche che il tempo di esecuzione delle singole parti e del totale sarà nella stessa proporzione, quella aurea.

Difficile rendersene conto ascoltando. Se però il nostro cervello fosse in grado di avvertire questa proporzione, anche in modo inconscio, come proporzione armoniosa e “naturale”, ecco che questa peculiarità nella costruzione dei primi tempi delle sonate per pianoforte di Mozart dovrebbe contribuire a farcele avvertire come composizioni armoniose e naturali. E, probabilmente, potrebbero aver portato Mozart a comporle in questo modo, anche se in modo inconsapevole, con questa linea guida implicita.

Qui un paio di queste sonate, quelle che hanno un rapporto più vicino alla sezione aurea. Nella prima (la “Sonata facile” n. 16 K545) l’interprete rispetta i ritornelli (marcati nella partitura da una linea verticale spessa con due puntini su ogni rigo) e li ripete entrambi. Ovviamente i rapporti non cambiano, raddoppiando tutto quanto.

il secondo esempio, in cui il rapporto è molto vicino alla sezione aurea, è della sonata n. 13 K 333. In questo caso l’interprete sceglie di non ripetere alcun ritornello. In questo caso il rapporto è proprio quello di cui si parla.

Il dato fenomenologico è abbastanza incontrovertibile. Le proporzioni, a parte la sonata che non è strutturata in modo da consentire questo genere di analisi, sono distribuite in modo che il rapporto tra la seconda sezione e la prima, e del totale sulla seconda sezione possono essere considerate uguali, e quindi compatibili con l’ipotesi del rapporto aureo, in modo statisticamente rilevante. Da questo però non è possibile stabilire una reale consapevolezza e quindi deliberazione da parte di Mozart. Rimane comunque un dato interessante e, probabilmente, spiega in parte la sensazione di nitore e perfezione che qualcuno può avvertire ascoltando le sonate di Mozart, e in particolare i primi tempi, che danno, in qualche modo, la firma, alla sonata.

La consegna su cui è basato il testo con cui si apre questo post è quindi la seguente.

Costruisci un testo in due sezioni, in cui la lunghezza della prima stia a quella della seconda come la seconda sta al tutto: è la proporzione aurea, un rapporto vicino a 1,618. La proporzione aurea è un rapporto puro: non dipende dall’unità con cui si misura. In un brano musicale l’unità naturale è la battuta; in un testo le unità possibili sono molte — il numero di righe, di parole, di sillabe, oppure il tempo di lettura ad alta voce. Scegline una e applicala con coerenza a tutto il testo. Tieni presente che metriche diverse daranno risultati diversi sullo stesso testo — la prosa, a differenza della musica, non ha una sola misura del tempo: puoi anche costruire il testo in modo che le diverse metriche concordino il più possibile, uniformando la lunghezza delle frasi, così che il conteggio delle righe faccia da guida a tutte le altre.

Per qualcosa di più articolato, aggiungi altre sezioni facendone crescere le lunghezze secondo la successione di Fibonacci (1, 1, 2, 3, 5, 8\ldots), in cui ogni coppia di numeri vicini ha un rapporto che si avvicina alla proporzione aurea via via che i numeri crescono. Ma fa’ in modo che a crescere non sia solo la misura: con essa devono crescere anche la densità, la tensione, la complessità del pensiero, la posta in gioco. La proporzione dev’essere sentita, non soltanto contata — altrimenti resta un esercizio aritmetico.

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Questo è un atto della serie sulla Matematica della musica. L’atto precedente era su Mozart, e quello successivo sarà di nuovo su Mozart.